Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng phương pháp CGS

Bài viết Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng phương pháp CGS trình bày: Sử dụng thuật toán CGS để giải phương trình Poisson ba chiều trong chương trình mô phỏng linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp. Các kết quả thu được cho thấy chương trình giải phương trình Poisson dựa trên thuật toán CGS tuy có độ chính xác không cao nhưng thời gian mô phỏng được cải thiện đáng kể so với thuật toán BICGSTAB,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng phương pháp CGSTÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀUBẰNG PHƯƠNG PHÁP CGSLƯƠNG VĨNH GIANG - ĐINH NHƯ THẢOTrường Đại học Sư phạm – Đại học HuếTóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi trình bày việc sử dụng thuật toán CGSđể giải phương trình Poisson ba chiều trong chương trình mô phỏng linhkiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tựhợp. Các kết quả thu được cho thấy chương trình giải phương trình Poissondựa trên thuật toán CGS tuy có độ chính xác không cao nhưng thời gian môphỏng được cải thiện đáng kể so với thuật toán BICGSTAB(3).1. GIỚI THIỆUTrong nghiên cứu khoa học, việc nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết cùng phát triểnsong song với nhau. Trong một số trường hợp, việc nghiên cứu lý thuyết có phần thuậnlợi hơn, chẳng hạn trong vấn đề nghiên cứu các linh kiện nano, bước đầu nghiên cứuthực nghiệm sẽ gặp nhiều khó khăn và tốn kém nên người ta chọn phương pháp nghiêncứu lý thuyết [1], [2], [3]. Một trong số các phương pháp được chọn ở đây là phươngpháp mô phỏng Monte – Carlo tập hợp tự hợp vì nó có nhiều ưu điểm nổi trội, đặc biệtlà tính chính xác và tính ổn định số. Đây là phương pháp bán cổ điển với tốc độ tán xạđược tính toán dựa trên quy tắc vàng Fermi và việc khảo sát động lực học của hạt tảidựa trên các phương trình chuyển động Newton [3].Một trong những bài toán cơ bản cần giải quyết là bài toán hạt tải chuyển động trongđiện trường. Để biết điện trường ta cần biết điện thế, phân bố điện thế trong linh kiệnđược tìm bằng cách giải phương trình Poisson. Đây là một hệ phương trình tuyến tínhrất lớn, do đó cần dùng các giải thuật đặc biệt để giải [3].Đến nay đã có nhiều phương pháp được xây dựng như: Jacobi, Gauss – Seidel, SOR, đaô lưới (multigrid), iLU [4]. Các phương pháp này có thể cho các kết quả chính xác tuynhiên độ ổn định số không cao và độ hội tụ thấp. Gần đây, các phương pháp không giancon Krylov như CG, GMRES, CGS, QMR, BiCG, BICGSTAB, BICGSTAB(3),BICGSTAB tiền điều kiện đã được phát triển và sử dụng hiệu quả trong việc giải các hệphương trình tuyến tính thưa loại lớn [4], [5]. Một số tác giả đã sử dụng các phươngpháp BICGSTAB, BICGSTAB(3), BICGSTAB tiền điều kiện để giải phương trìnhPoisson và đã thu được các kết quả chính xác với thời gian tính toán được rút ngắnnhiều lần [6], [7], [8], [9]. Để khảo sát mở rộng hướng nghiên cứu trên chúng tôi tiếnhành tìm nghiệm của phương trình Poisson bằng phương pháp CGS với mục đích tìm ranhững phương pháp tối ưu, hoạt động ổn định, cho kết quả nhanh hơn.Chúng tôi đã xây dựng chương trình mô phỏng mới và thực hiện tính toán trên máy tínhcó cấu hình Intel(R) Pentium(R) D CPU 2.80 GHz, DDRII 1GB. Kết quả chỉ ra rằngchương trình mô phỏng sử dụng thuật toán CGS tối ưu hơn.Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HuếISSN 1859-1612, Số 01(21)/2012: tr. 5-116LƯƠNG VĨNH GIANG - ĐINH NHƯ THẢO2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG THUẬT TOÁN CGSPhương trình Poisson ba chiều trong trường hợp vật liệu đồng nhất có dạng∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕρ+ 2 + 2 =− ,2∂x∂y∂zεS(1)ở đây ϕ là điện thế, ρ là mật độ điện tích, ε S là hằng số điện môi tĩnh trong linh kiện;x , y , z là ba biến không gian. Thực hiện phép sai phân hữu hạn và chia mô hình linhkiện thành các ô lưới bằng nhau Δx = Δy = Δz thì phương trình (1) được viết lại như sauϕi −1, j ,k + ϕi , j −1,k + ϕi , j ,k −1 − 6ϕi , j ,k + ϕi +1, j ,k + ϕi , j +1,k + ϕi , j ,k +1 = −ρi , j , k 2Δx ,εS(2)ở đây i = 1, N x , j = 1, N y , k = 1, N z với N x , N y , N z lần lượt là số nút lưới theo cácchiều không gian Ox , Oy , Oz . Đây chính là hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớnmà ta cần giải. Thuật toán CGS để tìm nghiệm phương trình Poisson được khai triểntrong Bảng 1.Bảng 1. Thuật toán CGS để tìm nghiệm của phương trình PoissonThuật toán CGS1Chọn x0 , rˆ0 bất kỳ11v = Api2Tính r0 = b -‐ Ax012a = r i / (rˆ0 , v)3Lấy rˆ0 = r013qi = u -‐ a v14uˆ = u + qi15xi = xi-‐ 1 + a uˆ45r0 = 1p0 = q0 = 067Bắt đầu vòng lặp chínhri = ri-‐ 1 -‐ a Auˆ r i = (rˆ0 , ri-‐ 1 )16Nếu xi đủ chính xác thì thoát817ri = ri-‐ 1 -‐ a Auˆ9b = r i / r i-‐ 1u = ri-‐ 1 + b qi-‐ 118Kết thúc vòng lặp chính10pi = u + b (qi-‐ 1 + b pi-‐ 1 )19Kết thúc thuật toánTÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG THUẬT TOÁN CGS73. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬNMô hình cấu trúc của đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs gồm một lớp bán dẫn thuần i kẹp giữahai lớp bán dẫn pha tạp loại p và loại n như được chỉ ra trong Hình 1, trong đó mỗi lớpcó độ dày tương ứng là di , d p và d n . Mật độ pha tạp acceptor và donor tương ứng làN A và N D , các tạp được phân bố từ bề mặt của các lớp p và n vào sâu bên trong linhkiện theo hàm phân bố Gauss. Trạng thái cân bằng nhiệt của linh kiện được xác lậpbằng mô phỏng thời gian thực trước khi chiếu xung laser vào linh kiện.Chúng tôi đã sử dụng phương ph ...