Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian

Bài viết Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian trình bày việc xét bài toán Dirichlet cho một dạng phương trình k-Hessian với dữ kiện không trơn trong miền bị chặn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 TÍNH ( w, k ) - LỒI CỦA NGHIỆM NHỚT CỦA MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH k - HESSIAN Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG Nếu k = n và = 0, phương trình (1) trở Trong báo cáo này, chúng tôi xét bài toán thành phương trình Monge-Ampere nDirichlet cho một dạng phương trình  det( D 2v)   f ( x, v, Dv)  0, x  .k - Hessian với dữ kiện không trơn trong Nếu k = 1 và  = 0, phương trình (1) trởmiền bị chặn. Chúng tôi xét nghiệm nhớt cho thành phương trình Poisson phi tuyếnbài toán này và sẽ đề xuất khái niệm về hàm v  f ( x, v, Dv)  0, x  .( w, k ) - lồi, từ đó chỉ ra rằng các nghiệm nhớttrên, nghiệm nhớt dưới của bài toán Dirichlet Phương trình Monge-Ampere, phươngđược xét ở đây cũng là các hàm ( w, k ) - lồi. trình Poisson nói riêng và phương trình k - Hessian nói chung có nhiều ứng dụng2. NỘI DUNG BÁO CÁO trong Vật lý, độ cong hình học… (xem [2], [4]). Nếu các dữ kiện đủ trơn, nghiệm cổ điển 2.1. Đặt vấn đề của bài toán Dirichlet đối với phương trình Cho   ¡ n là miền bị chặn, M n là tập Monge-Ampere đã được nghiên cứu, thậmcác ma trận vuông đối xứng cấp n với chuẩn chí đối với cả trường hợp tổng quát hơn cácmax; với X , Y  M n ta nói X  Y nếu tác giả trong [5] cũng đã đạt được kết quả mởi  i , i  1,2,..., n , trong đó 1  2  ...  n rộng rất đẹp.và 1   2  ...   n là các giá trị riêng tương Trường hợp   0 và f  f ( x) , nghiệmứng của X , Y . Xét bài toán Dirichlet đối với nhớt của bài toán (1) - (2) đã được A. Colesanti công bố trong [2].dạng phương trình k  Hessian dạng Trong bài báo này, chúng tôi sẽ mở rộng 1/ k     k  ( D 2v   ( x, v, Dv))    các kết quả của Colesanti trong [2]. Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm và  f ( x, v, Dv)  0 , x  , (1) một số kết quả quan trọng về nghiệm nhớt v( x)   ( x), x  , (2) của phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp nở đây  :   ¡  ¡  M n và 2 đã được công bố trong [1] và [3]. Xét bài f :¡ ¡ n  ¡ , f  0 toán Dirichlet tổng quátlà các hàm liên tục cho trước,  F ( x, v, Dv, D 2v)  0, x    (3)  ( X )  ( 1 ,..., n ) là n giá trị riêng của X ,  v ( x )   ( x ), x    k ( 1 ,..., n )   i1 ...ik cùng các điều kiện sau: 1i1 ...ik  n F ( x, t , p, X )  F ( x, t , p, Y ), X  Y (4)là các đa thức cơ bản đối xứng bậc k ; y là (điều kiện này cho ta tính elliptic suy biếnhàm liên tục cho trước xác định trên ¶ W. của hàm F ), 83Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 F ( x, t , p, X )  F ( x, s, p, X ), Fk ( x, v, Dv, D 2v) (5)  ( x, p, X )    ¡ n  M n ,  t  s. Với mỗi 0  R   , tồn tai hàm không      H k  D 2v   ( x, v, Dv)  f ( x, v, Dv).  0  Khi đó phương trình (1) trở thànhgiảm, liên tục  R ( ) :  R ( )   0 sao F ( x, v, Dv, D 2v)  0, x .cho: Xét F ( x, t , p , X )  F ( y , t , p , X )   R | x  y | (1 | p |)  , (6)   k :   ¡ ...