Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của phương trình Monge Ampère phức và lý thuyết đa thế vị

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của phương trình Monge Ampère phức và lý thuyết đa thế vị bao gồm những nội dung về dòng dương và hàm đa điều hòa dưới, bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge - Ampère, phương trình Monge - Ampère cho hàm không bị chặn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của phương trình Monge Ampère phức và lý thuyết đa thế vị BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS. Nguyễn Văn Đông, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Khoa Toán – Tin của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Phòng Sau đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học tập và thực hiện luận văn này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn. Phạm Nguyễn Phương Duy 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI.......................... 5 1.1. Dạng dương ................................................................................................................. 5 1.2. Dòng.............................................................................................................................. 9 1.3. Dòng liên kết với hàm đa điều hòa dưới ................................................................. 13 1.4. Công cụ làm việc với dòng........................................................................................ 15 1.5. Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng ......................................................... 17 1.6. Nguyên lý so sánh ...................................................................................................... 24 1.7. Hàm cực trị tương đối ............................................................................................. 26 1.8. Tập hợp nhỏ............................................................................................................... 29 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE .................................................................................................................... 32 2.1. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampère phức với dữ liệu liên tục. ..................................................................................................................................... 32 2.2. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampere phức với nghiệm là hàm đa điều hòa dưới bị chặn. ................................................................................................ 40 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE CHO HÀM KHÔNG BỊ CHẶN ......................................................................................................................... 54 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 67 2 MỞ ĐẦU Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây là lý thuyết đa thế vị. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước, chẳng hạn như Định lí Josefson về sự tương đương giữa tính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong  n . Tuy nhiên sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học như: giải tích phức nhiều biến, động lực học phức, giải tích hyperbolic, hình học vi phân phức, phương trình vi phân đạo hàm riêng phức…chỉ thực sự từ những năm 80 của thế kỉ trước trở lại đây. Các kết quả đặc sắc của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampère phức và đưa ra khái niệm dung lượng của một tập Borel trong một tập mở trong  n . Có thể xem đây như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay. Trong những năm gần đây bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère phức ( dd u ) n ...