Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng hai phương pháp TFQMR và Gmres(m)

Bài viết Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng hai phương pháp TFQMR và Gmres(m) trình bày: Việc xây dựng chương trình giải phương trình Poisson ba chiều dựa trên hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) để sử dụng trong chương trình mô phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng hai phương pháp TFQMR và Gmres(m)TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀUBẰNG HAI PHƯƠNG PHÁP TFQMR VÀ GMRES(m)ĐÀO HỮU HÀTrường Phổ thông Dân tộc Nội trú Tỉnh Kon TumĐINH NHƯ THẢOTrường Đại học Sư phạm – Đại học HuếTóm tắt: Bài báo trình bày việc xây dựng chương trình giải phương trìnhPoisson ba chiều dựa trên hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) để sử dụngtrong chương trình mô phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương phápMonte – Carlo tập hợp tự hợp. Để kiểm tra hiệu năng, các chương trình môphỏng tương ứng được áp dụng để mô phỏng các đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs.Các kết quả chỉ ra rằng chương trình giải phương trình Poisson dựa trênthuật toán TFQMR có tốc độ hội tụ nhanh hơn nhiều so với chương trình sửdụng thuật toán GMRES(m). Cả hai thuật toán chạy chậm hơn so với thuậttoán BICGSTAB(3) nhưng bù lại có tính ổn định cao hơn nhiều.1. GIỚI THIỆUNghiên cứu và phát triển các linh kiện na-nô bán dẫn đang thu hút sự quan tâm mạnhmẽ của giới khoa học do tính ứng dụng cao của nó [1], [2]. Nghiên cứu thực nghiệm cáclinh kiện na-nô nói chung là rất tốn kém, đòi hỏi phải sử dụng công nghệ cao và mấtnhiều thời gian. Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết có thể giúp khắc phục được cáchạn chế nêu trên [3], đặc biệt phương pháp mô phỏng Monte – Carlo tập hợp tự hợp vớicác ưu điểm nổi trội là tính chính xác và tính ổn định.Trong quá trình mô phỏng, phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp cần cập nhậtphân bố của điện thế trong linh kiện thông qua việc giải phương trình Poisson, thôngthường bằng phương pháp sai phân hữu hạn [3]. Khi đó việc giải phương trình Poissonchuyển thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớn với hàng triệuphương trình và hàng triệu ẩn. Thông thường để giải hệ phương trình trên người ta phảisử dụng các phương pháp số chạy trên một siêu máy tính với bộ nhớ cực lớn mà ViệtNam hiện nay chưa có. May mắn là các phương pháp không gian con Krylov có thể hỗtrợ cách tính toán không cần lưu trữ các số liệu tính toán trung gian [4], [5], [6]. Một sốtác giả đã sử dụng các phương pháp BICGSTAB, BICGSTAB tiền điều kiện,BICGSTAB2, BICGSTAB(3) và GPBICG để giải phương trình Poisson và đã thu đượccác kết quả chính xác với thời gian tính toán được rút ngắn nhiều lần [7], [8], [9], [10].Đó là động lực để chúng tôi tiến hành tìm nghiệm của phương trình Poisson bằng haiphương pháp TFQMR và GMRES(m) [5] với mục đích tìm ra những phương pháp tốiưu, hoạt động ổn định hơn và cho kết quả nhanh hơn.Chúng tôi đã xây dựng hai chương trình mô phỏng mới và thực hiện tính toán trên máytính Dell Inspiron 14R-N4010 (Intel(R) Core(TM) i3 CPU M370 @ 2.4GHz DDR 4GB).Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HuếISSN 1859-1612, Số 04(20)/2011: tr. 5-126ĐÀO HỮU HÀ - ĐINH NHƯ THẢOKết quả chỉ ra rằng chương trình mô phỏng sử dụng thuật toán TFQMR có nhiều ưu điểmcòn chương trình mô phỏng sử dụng thuật toán GMRES(m) thực tế không hiệu quả.2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG HAI THUẬT TOÁNTFQMR VÀ GMRES(m)Giả sử vật liệu là đồng nhất thì phương trình Poisson trong trường hợp ba chiều có dạng∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕρ+ 2 + 2 =− ,2∂x∂y∂zεS(1)ở đây ϕ là điện thế, ρ là mật độ điện tích, ε S là hằng số điện môi tĩnh trong linh kiện;x , y , z là ba biến không gian. Để có thể dễ dàng thực hiện sai phân hữu hạn ta chiamô hình linh kiện thành các ô lưới và giả sử khoảng cách giữa các nút lưới theo cácchiều không gian là bằng nhau, Δx = Δy = Δz . Tiến hành lấy sai phân hữu hạn phươngtrình (1) ta thu được hệ phương trình sau.ϕi −1, j ,k + ϕi , j −1,k + ϕi , j ,k −1 − 6ϕi , j ,k + ϕi +1, j ,k + ϕi , j +1,k + ϕi , j ,k +1 = −ρi , j , k 2Δx , (2)εSở đây i = 1, N x , j = 1, N y , k = 1, N z với N x , N y , N z lần lượt là số nút lưới theo cácchiều không gian Ox , Oy , Oz . Đây chính là hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớnmà ta cần giải. Hai giải thuật TFQMR và GMRES(m) [5] để tìm nghiệm của phươngtrình Poisson được khai triển trong Bảng 1.Bảng 1. Thuật toán TFQMR và GMRES(m) để tìm nghiệm của phương trình Poisson.1Thuật toán GMRES(m)Chọn ϕ0 ban đầu1Thuật toán TFQMRChọn ϕ0 ban đầu2r0 = b – Aϕ0, β = ||r0||2, v1 = r0/β,2w0 = u0 = r0 = b – Aϕ0, v0 = Au0, d0 = 03Do j = 1, 2,…, m3τ0 = ||r0||2, θ0 = η0 = 04wj = Avj4Chọn rg ≠ 0 bất kỳ, ρ0 = (rg,r0);5Doi: Do I = 1,…, j5Do m = 0, 1, 2,…6hi,j = (vi,wj), wj = wj – hi,jvi6If m chẵn thì tính7Enddo Doi7αm+1 = αm = ρm/(vm,rg)8hj+1,j = ||wj||28um+1 = um - αmvm9vj+1 = wj/hj+1,j9Endif10Enddo1011ym (là tối thiểu của ||βe1 – Hmy||2)11wm+1 = wm - αmAumdm+1 = um + ( /αm)ηmdm;12ϕ m = ϕ 0 + v my m1213If ϕm thoả mãn thì stop13θm+1 = ||wm+1||/τm; cm+1 = 1/(1+θm+1)1/2τm+1 = τmθm+1cm+1; ηm+1 =α m;TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG HAI PHƯƠNG PHÁP...14Else14ϕm+1 = ϕm ηm+1dm+1;15ϕ0 = ϕm15If m lẻ thì tính:16Go ...