Nghiên cứu giải bài toán điều khiển tối ưu sử dụng phương pháp tựa theo dãy và giải thuật tính vi phân tự động AD cho hệ thống động học phi tuyến có ràng buộc

Bài báo đề cập đến bài toán tối ưu động có ràng buộc ứng dụng phương pháp Tựa theo dãy (QuasiSequential Approach) và phương pháp Rời rạc hóa Collocation trực giao. ưu điểm chính của phương pháp này dựa trên việc làm giảm kích thước, hay chính là việc làm giảm số lượng biến trực tiếp của bài toán tối ƣu phi tuyến.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu giải bài toán điều khiển tối ưu sử dụng phương pháp tựa theo dãy và giải thuật tính vi phân tự động AD cho hệ thống động học phi tuyến có ràng buộc Ngô Phương Thanh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 87(1): 9 - 13 NGHIÊN CỨU GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỰA THEO DÃY VÀ GIẢI THUẬT TÍNH VI PHÂN TỰ ĐỘNG AD CHO HỆ THỐNG ĐỘNG HỌC PHI TUYẾN CÓ RÀNG BUỘC Ngô Phƣơng Thanh1*, Vũ Quốc Đông2 1 Trường ĐH Kỹ thuật Công nghiệp – ĐHTN, 2Đại học Kỹ thuật Tổng hợp Ilmenau TÓM TẮT Bài báo đề cập đến bài toán tối ƣu động có ràng buộc ứng dụng phƣơng pháp Tựa theo dãy (QuasiSequential Approach) và phƣơng pháp Rời rạc hóa Collocation trực giao. Ƣu điểm chính của phƣơng pháp này dựa trên việc làm giảm kích thƣớc, hay chính là việc làm giảm số lƣợng biến trực tiếp của bài toán tối ƣu phi tuyến. Điều này cho phép thuật toán đƣợc ứng dụng với những bài toán lớn, phức tạp, đòi hỏi khối lƣợng và thời gian tính toán lớn. Mục tiêu của nghiên cứu này là phát triển một gói phần mềm đƣợc viết trên môi trƣờng C và C++ ứng dụng trong bài toán tối ƣu động có sử dụng giải thuật tính vi phân tự động AD (Automatic Differentiation). Từ khóa: tối ưu động, phương trình vi phân-đại số, phương pháp Tựa theo dãy, tối ưu phi tuyến, collocation trực giao, vi phân tự động.  ĐẶT VẤN ĐỀ Các bài toán tối ƣu động nói chung liên quan đến một hệ thống các phƣơng trình vi phân-đại số (DAEs) mô tả các hệ thống động học rất phổ biến trong các lĩnh vực cơ khí, cơ-điện tử, điện và điện tử cũng nhƣ công nghệ hóa học. Các mô hình đại diện cho các quá trình hóa học thƣờng bao gồm một hệ thống những phƣơng trình vi phân thƣờng (ODEs) mô tả những cân bằng khối lƣợng và năng lƣợng động của hệ thống, mà trong đó các phản ứng hóa học xảy ra, cùng với các phƣơng trình đại số (AEs) thể hiện các quan hệ cân bằng nhiệt động lực học, những giá trị ở chế độ làm việc xác lập, v.v... Các hệ thống mạch điện bao gồm những phần tử cơ bản nhƣ điện trở, tụ điện và điện cảm đƣợc mô tả bằng những hệ phƣơng trình vi phân mà đƣợc tổng hợp lại bằng các định luật Kirchhoff dƣới dạng các phƣơng trình đại số. Trong các hệ thống cơ khí, những hệ phƣơng trình vi phân thƣờng đƣợc dùng để mô tả các quá trình động học của những hệ thống con và các phƣơng trình đại số đƣợc dùng để tổng hợp các ràng buộc tại các khớp nối. Nhiệm vụ của bài toán tối ƣu động là thực hiện việc tìm kiếm một luật điều khiển cho một hệ thống cho trƣớc nhằm đạt đƣợc một tiêu chí tối ƣu nhất định. Bài toán nhƣ vậy bao gồm một hàm chi phí chứa các biến trạng thái (còn gọi là biến phụ thuộc) và các biến điều khiển (còn gọi là  Tel: 0915660599 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên biến độc lập) cùng với một tập hợp các phƣơng trình vi phân-đại số mô tả hệ thống động học. Việc giải bài toán tối ƣu động nói trên chính là việc đi tìm quỹ đạo của các biến điều khiển nhằm giảm thiểu giá trị hàm chi phí nhƣ: tìm đƣờng đi ngắn nhất, tìm thời gian xảy ra quá trình ngắn nhất, cực tiểu hóa chi phí, cực tiểu hóa thời gian tác động, giảm giá thành sản phẩm, v.v... Một bài toán tối ƣu với hệ thống động học phi tuyến đƣợc mô tả bằng hệ phƣơng trình DAEs dƣới dạng tổng quát nhƣ sau: min z ,u s.t.   z, u  (1.a ) F  z, z , u   0 (1.b) z L  z  zU (1.c) uL  u  uU (1.d ) z  0   z0 (1.e) Trong đó z(t) và u(t) lần lƣợt là các biến trạng thái (phục thuộc) và biến điều khiển (độc lập). Hệ phƣơng trình (1.b) là một hệ phƣơng trình DAEs mô tả hệ thống cần xét, (1.c) và (1.d) là những ràng buộc trên quỹ đạo của biến điều khiển và biến trạng thái, và (1.e) là giá trị khởi tạo của các biến trạng thái tại thời điểm ban đầu. SƠ LƢỢC NHỮNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU Những phương pháp gián tiếp Bài toán điều khiển tối ƣu có thể đƣợc thực hiện bằng cách sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin (điều kiện cần), hoặc bằng cách giải phƣơng trình Hamilton-Jacobi-Bellman (điều kiện đủ). Những 9 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngô Phương Thanh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ phƣơng pháp này đƣợc xếp vào nhóm phƣơng pháp gián tiếp. Phƣơng pháp này có thể đƣợc sử dụng để các bài toán biên trị (còn gọi là bài toán bờ) với những bƣớc nhảy và chuyển mạch trạng thái mà về mặt số học thƣờng rất khó giải do nó có bán kính hội tụ địa phƣơng rất nhỏ. Việc hình thành điều kiện tối ƣu cho bài toán thƣờng rất khó khăn và đòi hỏi những kiến thức nền tảng tốt về giải tích. Mặt khác, những phƣơng pháp giải kiểu này rất tốn thời gian. Hơn nữa, lời giải của rất nhiều bài toán tối ƣu động không thể tìm đƣợc theo cách giải tích, chẳng hạn khi tồn tại các ràng buộc về quỹ đạo với các biến điều khiển và/hoặc các biến trạng thái. Những phương pháp trực tiếp Ngƣợc lại, những phƣơng pháp trực tiếp, ví dụ nhƣ phƣơng pháp Collocation, trƣớc hết thực hiện việc tƣơng đối dễ tiến hành là rời rạc hóa bài toán tối ƣu động dựa trên phƣơng pháp phần tử hữu hạn, mà thƣờng tốn ít thời gian hơn và không yêu cầu ngƣời thực hiện phải có nền tảng tốt về giải tích; rồi ...