Nghiên cứu hình học phẳng và phương pháp số phức: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Phương pháp số phức và hình học phẳng" trình bày các nội dung: Đường tròn đơn vị nội tiếp, đa giác đều, diện tích đa giác. Cuối sách là phần lời giải và gợi ý bài tập và các bài tập tự giải để người học tự ôn tập và củng cố kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu hình học phẳng và phương pháp số phức: Phần 2 Chương 8 ĐƯỜNG TRÒN ĐƠN VỊ NỘI TIẾP 8.1. Tọa độ đơn vị mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.3. Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.1. TỌA ĐỘ ĐƠN VỊ MỚI Những bài toán ở các phần trước đều giải bằng cách chọn hệ toạ độ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác hoặc tứ giác là đường tròn đơn vị. Với cách đã chọn thì việc tính toán và giải các bài toán trở nên đơn giản và dễ hiểu. Nhưng có những bài toán về đường tròn nội tiếp hay đường phân giác, thì cách tốt hơn là chọn chính đường tròn nội tiếp tam giác hoặc tứ giác làm đơn vị. Trong phần này ta xét một loạt thí dụ và bài tập bằng cách chọn này. Cho tam giác A1 A2 A3 , ta thường gán nhãn của các đỉnh tam giác là a1 ,a2 ,a3 rồi đi tìm những mối liên hệ giữa chúng theo dữ kiện của bài toán đã cho. Hình 8.1. Trong trường hợp đường tròn 8.2. Ví dụ 71 nội tiếp tam giác A1 A2 A3 tâm J và các điểm tiếp xúc T1 ,T2 ,T3 lần lượt đối với các cạnh A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 , người ta thường chọn đường tròn nội tiếp tam giác trùng với đường tròn đơn vị và nhãn t1 ,t2 , t3 là đã biết trên đường tròn, còn các đỉnh của tam giác có nhãn tính theo công thức ở chương trước 2t2 t3 2t1 t3 2t1 t2 a1 = , a2 = , a3 = , t2 + t3 t1 + t3 t1 + t2 ở đây ta đưa thêm vào ký hiệu sau: δ1 = t1 + t2 + t3 , δ2 = t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 , δ3 = t1 t2 t3 . Người ta cũng tìm được nhãn các điểm đặc biệt của tam giác biểu diễn theo t1 ,t2 , t3 thông qua các ví dụ sau: 8.2. VÍ DỤ Ví dụ 8.1. Cho tam giác A1 A2 A3 , đường tròn đơn vị J nội tiếp tam giác tiếp xúc các cạnh A1 A2 , A2 A3 , A3 A1 lần lượt tại T1 , T2 , T3 . Hãy tính các đại lượng sau theo t1 , t2 , t3 . 1. Nhãn o của tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 . 2. Nhãn h trực tâm H của tam giác A1 A2 A3 . 3. Nhãn o9 của tâm O9 đường tròn 9 điểm của tam giác A1 A2 A3 . 4. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 . Lời giải. 1. Vì |OA1 | = |OA2 | = |OA3 |, suy ra o là nghiệm của hệ (o − a1 )(o − a1 ) = (o − a2 )(o − a2 ) (o − a2 )(o − a2 ) = (o − a3 )(o − a3 ) 72 Chương 8. Đường tròn đơn vị nội tiếp hay là −o(a1 − a2 ) − o(a1 − a2 ) = a2 a2 − a1 a1 (8.1) −o(a2 − a3 ) − o(a2 − a3 ) = a3 a3 − a2 a2 (8.2) Ta có 2 2 2(t1 − t2 ) a1 − a2 = − = t2 + t3 t3 + t1 (t2 + t3 )(t3 + t1 ) 2t2 t3 2t1 t3 2t2 (t2 − t1 ) 3 a1 − a2 = − = t2 + t3 t3 + t1 (t2 + t3 )(t3 + t1 ) 4t1 t3 4t2 t3 a2 a2 − a1 a1 = 2 − (t3 + t1 ) (t2 + t3 )2 t1 (t2 + 2t2 t3 + t2 ) − t2 (t2 + 2t1 t3 + t2 ) 2 3 3 1 = 4t3 (t3 + t1 )2 (t2 + t3 )2 t1 t2 + t1 t2 − t2 t2 − t2 t2 = 4t3 2 3 3 1 (t3 + t1 )2 (t2 + t3 )2 t1 t2 (t2 − t1 ) − t2 (t2 − t1 ) 3 (t2 − t1 )(t1 t2 − t2 ) 3 = 4t3 = 4t3 (t3 + t1 )2 (t2 + t3 )2 t3 + t1 )2 (t2 + t3 )2 Từ (8.1) ta có 2(t2 − t1 ) 2t2 (t2 − t1 ) 3 (t2 − t1 )(t1 t2 − t2 ) 3 o −o = 4t3 (t3 + t1 )(t2 + t3 ) (t3 + t1 )(t2 + t3 ) t3 + t1 )2 (t2 + t3 )2 Hay là 2t3 (t1 t2 − t2 ) o − t2 o = 3 3 (t3 t1 )(t2 + t3 ) Từ (8.2) tương tự có 2t1 (t2 t3 − t2 ) o − t2 o = 1 1 (t3 t1 )(t1 + t2 ) Trừ hai đẳng thức sau cùng cho nhau được 2t1 (t2 t3 − t2 ) 2t3 (t1 t2 − t2 ) (t2 − t2 )o = 3 1 1 − 3 (t3 t1 )(t1 + t2 ) (t3 t1 )(t2 + t3 ) 8.2. Ví dụ 73 (t2 + t3 )(2δ3 − 2t3 ) − (t1 + t2 )(2δ3 − 2t3 ) 3 3 = (t3 + t1 )(t2 + t3 )(t1 + t2 ) 2δ3 (t3 − t1 ) + 2t2 (t3 − t3 ) + 2t3 t1 (t2 − t2 ) 3 1 3 1 = δ1 δ2 − δ3 Khi đó ...