Nghiên cứu quá trình truyền nhiệt trong ống trụ tròn chiều cao vô hạn bằng phương pháp tách biến Fourier

Bài toán truyền nhiệt thường dẫn đến việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng (phương trình Vật lý toán), một trong những phương pháp có hiệu quả và phù hợp nhất để giải phương trình này là ứng dụng phương pháp tách biến Fourier [3], [5], [6]. Do đó, chúng tôi chọn phương pháp tách biến Fourier để giải bài toán trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu quá trình truyền nhiệt trong ống trụ tròn chiều cao vô hạn bằng phương pháp tách biến Fourier Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009 Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG ỐNG TRỤ TRÒN CHIỀU CAO VÔ HẠN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER Phạm Hữu Kiên - Nguyễn Thị Thu Hằng (Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái Nguyên) 1. Mở đầu Quá trình truyền nhiệt trong các môi trường đã được nghiên cứu từ rất lâu. Có nhiều tài liệu trình bày về vấn đề này [1, 2, 3, 4, 5, 6], nhưng chưa có tài liệu nào trình bày cách giải cụ thể một bài toán truyền nhiệt trong vật có hình dạng xác định, đặc biệt. Với mong muốn tìm lời giải cho bài toán truyền nhiệt trong vật có hình dạng xác định và đặc biệt, chúng tôi đã giải và nghiên cứu sự phân bố nhiệt trong một ống trụ tròn, chiều cao vô hạn. Kết quả này có thể được áp dụng để giải các bài toán truyền nhiệt trong những vật có hình dạng xác định, đặc biệt khác. Bài toán truyền nhiệt thường dẫn đến việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng (phương trình Vật lý toán), một trong những phương pháp có hiệu quả và phù hợp nhất để giải phương trình này là ứng dụng phương pháp tách biến Fourier [3], [5], [6]. Do đó, chúng tôi chọn phương pháp tách biến Fourier để giải bài toán trên. Phương pháp tách biến Fourier là phương pháp tìm nghiệm phương trình: (1.1) utt'' a 2 u G( x, y, z,...t ), trong đó, u = u( x, y, z,...t ) , nghiệm thỏa mãn phương trình vi phân (1.1) được tìm bằng cách phân tích hàm u( x, y, z,...t ) thành tích các hàm chứa các biến độc lập với nhau, cụ thể là chúng ta đặt: u( x, y, z,...t ) T (t ) X ( x)Y ( y)Z ( z)...., (1.2) sau đó thay phương trình (1.2) vào phương trình (1.1), kết hợp với điều kiện biên và điều kiện ban đầu sẽ tìm được nghiệm của bài toán. 2. Phƣơng pháp tách biến Fourier đối với quá trình truyền nhiệt trong một ống hình trụ chiều cao vô hạn Bài toán: Tìm sự phân bố nhiệt độ trong một ống hình trụ tròn chiều cao vô hạn có bán 2 , biết nhiệt độ ban đầu trong ống có dạng: kính r0 , 0 r r0 ;0 u t 0 (2.1) f (r , ), và trên bề mặt trụ được duy trì nhiệt độ bằng không (không có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài) [3]. Bài toán trở thành tìm nghiệm của phương trình vi phân: u t 1 u r r r r a2 1 r2 2 u 2 ,0 r r0 , 0 2 . (2.2) Thỏa mãn điều kiện biên: u (r , , t ) r r0 0, (2.3) và điều kiện ban đầu: u (r , , t ) t 0 f (r , ). (2.4) Hàm phân bố nhiệt độ tại miền được xét phải hữu hạn, tức là: u (r , , t ) . Theo biến hàm nhiệt độ có tính tuần hoàn: 1 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009 Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính u(r, , t ) u(r, 2 , t ). Sử dụng phương pháp tách biến Fourier, chúng ta đặt: u(r, , t ) R(r ) ( )T (t ), thay vào phương trình (2.2), chúng ta có: 1 r.R (r ) R( r ) r T (t ) a 2T (t ) 1 r2 ( ) ( ) 2 (2.5) . Chọn hàm ( ) : ( ) ( ) n 2 ( ) 0. n2 , ( ) Nghiệm của phương trình (2.6) có dạng: ( ) A cos n B sin n , do tính chất tuần hoàn của hàm ( ) : (2.6) ( 2 ) ( ), suy ra, n phải nguyên dương hoặc bằng 0, tức là n 0,1, 2,3... Từ phương trình (2.5), ta có: T (t ) a 2 2T (t ) (2.7) 0. r 2 R (r ) rR (r ) ( 2 2 n 2 ) R(r ) r 0. (2.8) Phương trình (2.8) có nghiệm là hàm Bessel [2], [3], [4]. Chúng ta đặt x x 2 R ( x) xR ( x) ( x 2 n 2 ) R( x) Điều kiện R R( x) 0, 0 , vì hàm Yn 0 n 1 , 2 ,... k , k 0,1, 2,3... J n ( x) Y ( x ). n n . Từ điều kiện ban đầu, chúng ta có: R(r0 ) hàm Bessel là: n r: n Jn k k r0 0 , đánh số các không điểm của rn chính xác đến một hệ số hằng số, hàm theo biến r có dạng: R( r ) Rnk (r ) Jn k r0 r . Nghiệm của phương trình (2.7) là: k T (t ) Tnk (t ) e a r0 2 t . Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) có dạng: k u (r , , t ) Jn n. k 0 n r0 r Ank cos n Bnk sin n .e a r0 2 t . Do tính chất trực giao của hàm Bessel và tính trực giao của các hàm 1, cos n ,sin n , tức là: 2 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009 r0 rJ 2 r0 0 r02 2 J0 ( ) 2 r dr r02 2 J 1 2 0 2 2 cos n cos m d 0 2 0 sin n sin m d Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính 0 ; khi n khi n m m 0 khi n m khi n m, n khi n m 0; m 0 0. Suy ra các hệ số Ank và Bnk : r0 2 n Ank rf (r , ) cos n J n drd ; 2 r02 J n 0 0 k r0 2 n Bnk r02 J n rf (r , ) sin n J n drd , 2 k 0 0 trong đó: 1 2 n n 0 0. 3. Áp dụng cho trƣờng hợp cụ thể Bài toán: Tìm nhiệt độ trong một hình trụ tròn bán kính R, chiều cao vô hạn, biết rằng nhiệt độ ban đầu trong hình trụ được cho bởi: u r, t t 0 u0 1 r2 . R2 trong đó u0 là hằng số, và nhiệt độ trên bề mặt xung quanh bằng không [4]. Bài giải: Vì hàm u r , t chỉ phụ thuộc vào biến r, không phụ thuộc vào biến tìm nghiệm của phương trình vi phân: u a2 t 2 u r2 1 u r r 0. , bài toán trở thành (3.1) Với điều kiện biên: u r, t r R 0, (3.2) và điều kiện ban đầu: u r, t t 0 f (r ) u0 1 r2 . R2 (3.3) Áp dụng kết quả ở mục 2, chúng ta có sự phân bố nhiệt độ trong ống trụ có dạng: 3 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009 Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính 2 a2 u (r , t ) n t R An e n J0 R n 1 r . Theo điều kiện ban đầu của bài toán: u(r,0) f (r ) f (r ) n An J 0 R n 1 r . Áp dụng kết quả ở mục 2, chúng ta có: R 2 r2 n An rf (r ) J 0 r dr, f (r ) u0 1 . 2 R R2 R 2 J1 ( n ) 0 Chúng ta đặt: R I n r dr R I1 I 2 u0 , r dr , I 2 R 1 r3J0 2 R 0 rf (r ) J 0 0 trong đó: R I1 R n rJ 0 0 r dr . R n Chúng ta dễ dàng chứng minh được: x xJ 0 x dx xJ1 x ; 0 x x3 J 0 x dx 2x2 J 0 x ( x3 4 x ) J1 x . 0 Từ đó suy ra: I1 R2 J1 ( n 2R2 J 0 ( ); I 2 n ) 2 n n R 2 J1 ( n n ) 4R2 3 n J1 n . Suy ra: I 4 R 2 J1 2R2 J 0 n 3 n u0 . n 2 n Mặt khác, chúng ta lại có: J0 ( 1) k n k 0 J1 J0 ( n Suy ra: 4 R 2 J1 I 3 n n ) 2k 1 k !k ! n 2(k 1) n 2 ; . u0 ; n An 2I 2 R J1 ( n ) 2 8u0 . J ( n) 3 n 1 4 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009 Toán, Thống kê ...