Ôn tập đại số cơ sở bài 1-TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 1-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 1-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) TS Tr n Huyên Ngày 11 tháng 10 năm 2004 M Đ u Đ c gi thân m n, các b n đang tham gia chuyên đ Đ i s cơ s c a Khoa Toán -Tin ĐHSP Tp. HCM. Chuyên đ c a chúng tôi xây d ng, trư c h t nh m tr giúp các ngviên Th c sĩ tương lai v chuyên ngành đ i s h th ng l i các ki n th c cơ s , các k thu tcơ b n, rèn luy n k năng gi i toán đ có th v ng vàng vư t qua kỳ thi tuy n sinh cao h cc a ĐHSP Tp. HCM, tr thành h c viên Cao h c ngành Đ i s c a trư ng. Chuyên đ bámsát các n i dung đ ra trong chương trình tuy n sinh, không ch giúp các h c viên có th v ngtâm đ i di n v i kỳ thi tuy n mà còn giúp cho h c viên m t kh năng, phương pháp t h c,t đào t o mình. Đ h c viên d theo dõi, ti p thu các n i dung s đư c biên so n dư i d ngcác bài gi ng v i ngôn ng đơn gi n và d hi u nh t, m i bài gi ng đ hai ti t cho m i tu n.Chuyên đ đ s đư c dàn d ng v i th i lư ng ch ng 40 ti t, liên t c đư c c p nh t cho t ingày các b n có th tham gia đ t ôn t p t p trung trư c khi bư c vào kỳ thi tuy n, d p tháng05 − 2005. Đ chuyên đ càng ngày càng đư c tri n khai m t cách h u ích, hi u qu hơn, chúngtôi luôn luôn s n sàng đón nh n các góp ý, yêu c u c a các b n. Chúng tôi cũng s n sàng traođ i, gi i đáp các th c m c c a các b n, h u mong chuyên đ s là ngư i b n tâm giao c a đ cgi trong hành trình ph n đ u khoa h c c a mình. Các bài t p ki m tra nhóm Nhóm là m t khái ni m cơ b n c a Đ i s , và là m t trong nh ng n i dung không th v ngbóng trong các đ thi tuy n sinh chuyên ngành Đ i s cơ s . Vì v y b n ph i n m v ng knăng ki m tra m t t p X cho trư c v i m t phép toán nào đó trên X l p thành m t nhóm. Dĩnhiên b n ph i năm v ng khái ni m nhóm đ theo đó mà t ng bư c ki m tra t p X đã cho vàphép toán đã cho có th a mãn t t c các đi u ki n c n có cho m t nhóm hay không? Theo chương trình Đ i s đ i cương ta có ba đ nh nghĩa nhóm, tương đương v i nhau nhưsau :1 Đ nh nghĩa 1 Nhóm là m t t p h p X = ∅, trên đó đã xác đ nh đư c m t phép toán hai ngôi th a cácđi u ki n : 1. N1 : (Đi u ki n k t h p) : ∀x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz). ex = x 2. N2 : (Đi u ki n đơn v ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X thì xe = x 1 x−1 x = e 3. N3 : (Đi u ki n kh ngh ch ) ∀x ∈ X, ∃x−1 ∈ X sao cho xx−1 = e2 Đ nh nghĩa 2 Nhóm là n a nhóm X, có đơn v trái e và m i x ∈ X đ u có ngh ch đ o trái x (t c x x = e) Như v y so v i đ nh nghĩa 1, thì đ nh nghĩa 2 ti t ki m hơn; đi u ki n N2 ch c n ki mtra ex = x và đi u ki n N3 ch ph i ki m tra x−1 x = e. M t d ng đ i ng u c a đ nh nghĩa 2 và có th xem như là đ nh nghĩa 2’ là : Nhóm là n anhóm X, có đơn v ph i e và ∀x ∈ X đ u có ngh ch đ o ph i x (t c xx = e)3 Đ nh nghĩa 3 Nhóm là n a nhóm X mà các phương trình ax = b và xa = b là gi i đư c (t c có nghi m)trong X v i m i a, b ∈ X Đ ki m tra m t t p cho trư c X và m t phép toán cho trên X là nhóm, tùy trư ng h pc th mà ta l a ch n đ nh nghĩa nào trong các đ nh nghĩa nêu trên đ áp d ng cho phù h p.4 Ví d4.1 Ví d 1 Cho t p h p X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} xác đ nh trên X phép toán sau : (k1 , k2 ).(l1 , l2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 ) Ch ng minh r ng X v i phép toán trên là nhóm. Gi i : 1. Cách 1 : (N u s d ng đ nh nghĩa 1, ta l n lư t ki m tra t ng bư c như sau:) • X = Z × Z = ∅ vì Z = ∅. • D dàng th y là n u (k1 , k2 ), (l1 , l2 ) là c p s nguyên thì (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 ) cũng là m t c p s nguyên nên phép toán trên X là phép toán hai ngôi. • ∀(k1 , k2 ), (l1 , l2 ), (t1 , t2 ) ∈ X ta có :[(k1 , k2 )(l1 , l2 )](t1 , t2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 )(t1 , t2 ) = (k1 + l1 + t1 , k2 + (−1)k1 l2 + (−1)k1 +l1 t2 ) (1) M t khác : (k1 , k2 )[(l1 , l2 )(t1 , t2 )] = (k1 , k2 )(l1 + t1 , l2 + (−1)l1 t2 ) = (k1 + l1 + t1 , k2 + (−1)k1 l2 + (−1)k1 +l1 t2 (2) So sánh ( 1) vào ( 2) ta có đi u ki n k t h p. • T n t i (0, 0) ∈ X mà v i m i (k1 , k2 ) ∈ X thì (0, 0)(k1 , k2 ) = (0 + k1 , 0 + (−1)0 k2 ) = (k1 , k2 ) và (k1 , k2 )(0, 0) = (k1 + 0, k2 + (−1)k1 .0) = (k1 , k2 ) V y (0, 0) là đơn v trong X. 2 • ∀(k1 , k2 ) ∈ X, ∃(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) ∈ X mà (−k1 , (−1)k1 +1 k2 )(k1 , k2 ) = (−k1 + k1 , (−1)k1 +1 k2 + (−1)−k1 k2 ) = (0, 0) (k1 , k2 )(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) = (k1 − k1 , k2 + (−1)2k1 +1 k2 ) = (0, 0) t c (k1 , k2 )−1 = (−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) V y X là m t nhóm. • Nh n xét : Như v y đ ki m tra m t nhóm theo đ nh nghĩa 1, ta đã làm theo đúng các yêu c u c a đ nh nghĩa là ki m tra t p X = ∅, ki m tra phép toán cho trên X th t s là phép toán hai ngôi (hai ph n t b t kỳ c a t p h p X ph i có tích là m t ph n t thu c X!) và ba tiên đ N1 , N2 , N3 . Dĩ nhiên, trong các bư c đó, n u có bư c nào mà các đòi h i đu c th a mãn m t cách hi n nhiên thì ta có th b qua. Ch ng h n ví d trên n u xem bư c 1, bư c 2 là hi n nhiên th a mãn thì v n có th ch p nh n đư c. Tuy nhiên trong m t s trư ng h p c n ki m tra m t cách c n tr ng, tránh s sai sót. 2. Cách 2 : N u s d ng đ nh nghĩa 2 thì tro ...