Danh mục

Ôn tập đại số cơ sở bài 14-TS Trần Huyền

Số trang: 4      Loại file: pdf      Dung lượng: 92.89 KB      Lượt xem: 17      Lượt tải: 0    
Thư viện của tui

Phí lưu trữ: miễn phí Tải xuống file đầy đủ (4 trang) 0
Xem trước 2 trang đầu tiên của tài liệu này:

Thông tin tài liệu:

Ôn tập đại số cơ sở bài 14 TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 14-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 24 tháng 4 năm 2005 Bài 14. CÁC BÀI TOÁN V VÀNH ƠCLÍT Các vành chính - như đã bi t m c trư c - nh có tính ch t cơ b n : m i iđêan là iđêanchính mà s h u đư c khá nhi u các tính ch t chia h t như trong vành Z các s nguyên. Tuyv y, chúng v n còn m t kho ng cách khá xa so v i Z. Ch ng h n, ư c chung l n nh t c a haiph n t trong m t vành chính A, đã t n t i, nói chung v n không có đư c m t thu t toán tìmUCLN như trong vành s nguyên - thu t toán Ơclit. Khái ni m v vành Ơclit (mà các đi uki n đ nh nghĩa nó có đư c nh s phân tích, đánh giá các đi u ki n đ m b o cho s th c hi nthu t toán Ơclit trong vành Z !), đư c xem là m t b sung rút ng n b t kho ng cách đó.Đ nh nghĩaVành Ơclit là m t mi n nguyên A, sao cho trên t p A∗ các ph n t khác 0 xác đ nh đư c ánhx δ : A∗ −→ N, vào t p s t nhiên N th a các đi u ki n:E1 : N u a, b ∈ A∗ mà a thì δ(a) δ(b).E2 : ∀a, b ∈ A, b = 0 luôn t n t i q, r ∈ A sao cho a = qb + r, hơn n a n u r = 0 thì δ(r) < δ(b).Ánh x δ đư c g i là hàm b c hay ánh x Ơclit.Hi n nhiên vành Ơclit A là vành chính và đ c đi m nh n bi t m t vành Ơclit trong l p cácvành chính nói chung đó là s xác đ nh c a hàm b c trên nó. Vì v y các bài toán v vành Ơclit,ngoài các d ng tương t như có trong vành chính, mà cách x lí nói chung cũng tương t nhưtrong vành chính, đáng đ ý hơn đây là các bài toán liên quan t i hàm b c. Tr ơc h t, chínhlà các bài toán ki m tra m t vành đã cho là vành Ơclit.Ví d 1 a bCho æ = : a, b ∈ Z . Ch ng minh r ng æ cùng v i hai phép toán c ng và nhân −b ama tr n là m t vành Ơclit. Gi i :Đ ch ng minh æ là m t vành Ơclit, trư c h t ta c n ki m tra æ là m t mi n nguyên theo cácbư c sau:+ æ có nhi u hơn m t ph n t .+ æ ⊂ M2 , v i M2 là vành các ma tr n c p hai. v 1 1 0+ Đơn v c a æ là 0 1+ Phép nhân trên æ là giao hoán.+ æ không có ư c c a 0.B n bư c đ u khá đơn gi n, xin dành cho b n đ c. Đ ki m tra æ không có ư c c a 0, ta đý r ng : a b = a2 + b 2 = 0 ⇔ a = b = 0 −b anên a b A= =0 −b akhi và ch khi det A = 0. V y n u A = 0, B = 0 thì det AB = det A. det B = 0nên AB = 0. V y æ là mi n nguyên.Ti p theo ta xây d ng hàm b c δ : æ∗ −→ N mà v i m i A ∈ æ∗ thì δ(A) = det A = a2 +b2 ∈ N.Ta l n lư t ki m tra δ th a các đii u ki n E1, E2Th t v y, trư c h t n u AB (A, B ∈ æ∗ ) thì t n t i C mà B = AC ⇒ det B = det A. det C,t đó ta có det A det B (do det C 1).V y : δ(A) δ(B) t c δ th a E1.Bây gi n u A, B ∈ æ và B = 0. Khi đó det B = 0 nên t n t i ma tr n ngh ch đ o B −1 ∈ M2 .Xét ma tr n AB −1 ∈ M2 , d th y nó có d ng r s AB −1 = −s r 1 1Ta ch n các s nguyên a, b sao cho |a − r| và |b − s| , và l p ma tr n 2 2 a b Q= ∈æ −b aKhi đó ta có A = QB + (A − QB), trong đó ma tr n R = A − QB = (AB −1 − Q)Bth a mãn yêu c u det R < det B (n u R = 0) b i : r−a s−b det(AB −1 − Q) = b−s r−a =(r − a)2 + (s − b)2 1 1 + < 1. 4 4t c δ th a đi u ki n E2.V y æ là vành Ơclit.Các bài toán v tính ch t c a các ph n t liên quan t i b c (t c giá tr c a ánh x Ơclit) c achúng cũng là nh ng d ng toán đáng chú ý trong vành Ơclit. 2Ví d 2:Cho vành Ơclit A v i hàm b c δ. Đ t m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) m}Ch ng minh r ng :a. N u u ∈ A∗ mà δ(u) = m thì u 1b. N u a ∈ A∗ mà δ(a) = n thì a b t kh qui. Gi i :a) Theo tiên đ E2, v i c p ph n t 1, u = 0, t t n t ...

Tài liệu được xem nhiều: