Ôn tập đại số cơ sở bài 15-TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 15 TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 15-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 29 tháng 4 năm 2005Bài 15. Các Bài Toán V Vành Đa Th c Lý thuy t các vành đa th c cũng như các d ng toán liên quan t i chúng là r t phong phú vàđa d ng. Tuy nhiên trong gi i h n c a chương trình, chúng ta ch quan tâm ch y u t i các d ngtoán c a vành đa th c liên quan t i các khái ni m cơ b n c a lý thuy t vành. R i rác, đây đótrong các m c khác nhau c a chuyên đ ôn t p này, ta đã có m t s ví d v chúng. Ph n cònl i này, chúng ta đ ý nhi u hơn t i các d ng toán liên quan t i lý thuy t chia h t trong vành đath c, nh ng v n đ v đa th c b t kh qui, đa th c nguyên t cùng nhau, ... liên quan v i nghi mc a đa th c. Xin nh c l i r ng, riêng đ i v i m t vành đa th c trên m t trư ng K, K[x] luôn luônlà m t vành Ơclít. Và vì v y khi x lý các bài t p trong vành đa th c, các k t qu , tính ch t c avành Ơclit (và do đó c c a vành chính) thư ng đư c áp d ng khá hi u qu . Ta cũng không quênnh c t i m t k t qu cũng r t hay đư c s d ng trong vành đa th c thư ng đư c bi t dư i cáitên đ nh lý Bezout, đó là vành đa th c f (x) chia h t cho đa th c b c nh t g(x) khi và ch khinghi m c a g(x) là nghi m c a f (x). Hơn n a khi x lý các bài toán trong các vành đa th c cth , ta cũng c n t i các tri th c c th c a các vành đó; đ c bi t là v i các vành đa th c trên cáctrư ng s : C[x], R[x], Q[x], mà vi c h th ng l i xin phép đư c dành cho đ c gi . Ví d 1: Cho g(x), f (x) ∈ C[x] là các đa th c khác 0. Ch ng minh r ng f (x), g(x) là nguyênt cùng nhau khi và ch khi chúng không có nghi m chung nào. GI I N u f (x), g(x) không nguyên t cùng nhau, t t n t i h(x) v i deg(h) ≥ 1 sao cho (f (x), g(x)) =h(x). Theo đ nh lý cơ b n c a đ i s , do deg(h) ≥ 1 nên h(x) có ít nh t m t nghi m ph c x0 . Hi nnhiên x0 là nghi m chung c a c f (x) và g(x). Ngư c l i, n u f (x) và g(x) có chung nghi m x0 . Theo đ nh lý Bezout c f (x) và g(x) có ch achung nhân t (x − x0 ), nên (f (x), g(x)) = 1. V y (f (x), g(x)) = 1 ⇔ f (x), g(x) không có nghi m chung 1 Ví d 2: Cho các trư ng K ⊂ F và đa th c f (x) ∈ K[x] là b t kh qui trong K[x] nhưng cónghi m x = x0 ∈ F . Cho g(x) ∈ K[x] là đa th c cũng nh n x = x0 ∈ F làm nghi m. Ch ng minhr ng f (x)\g(x). GI I Trong vành đa th c K[x] xem như m t vành chính, m i quan h c a m t đa th c b t khqui f (x) v i đa th c b t kì g(x) ch có th n m trong hai kh năng là ho c f (x)\g(x) ho c(f (x), g(x)) = 1. N u (f (x), g(x)) = 1, t t n t i các đa th c t(x), s(x) ∈ K[x] sao cho s(x).f (x) + t(x).g(x) = 1.H th c sau cùng này, do K[x] ⊂ F [x] nên cũng có trong F [x], t c là trong F [x] thì v n có(f (x), g(x)) = 1. Tuy nhiên theo gi thi t bài toán các đa th c f (x), g(x) nh n x0 ∈ F làm nghi m, nên theođ nh lý Bezout, trong F [x] c f (x), g(x) có nhân t chung (x − x0 ). T c là không th x y ra trư ngh p (f (x), g(x)) = 1. V y ch có th x y ra : f (x)\g(x) Ví d 3: Trong vành đa th c K[x] v i K là trư ng, cho đa th c f (x). S d ng phép đ i bi nx = ay + b (a = 0) ta xây d ng đa th c g(y) = f (ay + b). Ch ng minh r ng đa th c f (x) b t khqui khi và ch khi đa th c g(y) b t kh quy. GI I D th y m nh đ trên là tương đương v i m nh đ sau : f (x) không b t kh qui ⇔ g(y) không b t kh qui Trư c h t n u f (x) không b t kh qui, t t n t i các đa th c f1 (x), f2 (x) ∈ K[x] v i deg(f1 ) ≥ 1,deg(f2 ) ≥ 1 sao cho f (x) = f1 (x).f2 (x). Khi đó ta cũng có: g(y) = f (ay + b) = f1 (ay + b).f2 (ay + b) = g1 (y).g2 (y) v i g1 (y) = f1 (ay + b) có deg(g1 ) = deg(f1 ) ≥ 1 g2 (y) = f2 (ay + b) có deg(g2 ) = deg(f2 ) ≥ 1t c g(y) cũng không b t kh qui. Ti p theo đ ý r ng n u x = ay + b (a = 0) thì y = cx + d, trong đó c = a−1 và d = −ba−1 . Vìv y n u g(y) = f (ay + b) thì f (x) = g(cx + d). Do đó n u g(y) = g1 (y).g2 (y) v i deg(g1 ) ≥ 1 vàdeg(g2 ) ≥ 1 thì f (x) = g(cx + d) = g1 (cx + d).g2 (cx + d) = f1 (x).f2 (x) v i f1 (x) = g1 (cx + d) có deg(f1 ) = deg(g1 ) ≥ 1 f2 (x) = g2 (cx + d) có deg(f2 ) = deg(g2 ) ≥ 1 2t c n u g(y) không b t kh qui thì f (x) không b t kh qui. Ví d 4: Trong vành Q[x] cho đa th c: f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) − 1trong đó a1 , a2 , . . . , an là các s nguyên phân bi t. Ch ng minh r ng f (x) là b t kh qui trongQ[x]. Đa th c f (x) có b t kh qui trong R[x] hay trong C[x] không ? GI I N u f (x) không b t kh qui, t t n t i các đa th c h s nguyên h(x), g(x) b c l n hơn hayb ng 1 sao cho f (x) = g(x).h(x) Khi đó ta cũng có degg(x) < degf (x) và degh(x) < degf (x) do degf = degg+degh và degg ≥ 1,degh ≥ 1). Do f (ai ) = −1 v i i = 1, 2, . . . , n, nên g(ai ).h(ai ) = −1, ∀i. B i g(ai ), h(ai ) ∈ Z nên t đósuy ra g(ai ) + h(ai ) = 0. N u g(x) + h(x) = 0 thì deg(h(x) + g(x)) ≤ max{deg(g), deg(h)} t cdeg(h(x) + g(x)) < deg(f (x)) = n. Và ta có h(x) + g(x) là đa th c b c bé hơn n l i có n nghi ma1 , a2 , . . . , an ; là đi u không th đư c. V y ph i có : h(x) + g(x) = 0, do đó h(x) = −g(x) vàf (x) = g(x).h(x) = −[g(x)]2 . Đi u này cũng không th x y ra vì h s cao nh t c a f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) − 1là +1, trong khi đó h cao nh t c a −(g(x))2 là s âm. ...