Ôn tập đại số cơ sở bài 4-TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 4-TS Trần Huyền bàm sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 4-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS Tr n Huyên Ngày 23 tháng 11 năm 2004 Bài 4. Các Bài Toán Ki m Tra Nhóm Con Chu n T c M t nhóm con A c a nhóm X đư c g i là nhóm con chu n t c (hay ư c chu n t c) c a X,n u A th a thêm đi u ki n: ∀x ∈ X, ∀a ∈ A thì xax−1 ∈ A (∗) ( ho c x−1 ax ∈ A)Đi u ki n (∗) đư c g i là đi u ki n chu n t cV y : A X n u A ⊂ X và A th a đi u ki n chu n t c. nVà đ ki m tra A X thì ta ph i ki m tra : • A là nhóm con c a X và sau đó ti p t c • Ki m tra A th a đi u ki n chu n t c.Ví d 1. Cho nhóm a b 1 b X= : ac = 0 và A = :c=0 0 c 0 cCh ng minh r ng : A X GI I:Hi n nhiên là A = ∅. Trư c h t ta ch ng minh A ⊂ X. nTh t v y: 1 1 b1 1 b2 1 b1 1 b2 1 b2 + b1 c 2 • ∀ , ∈A: = 0 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 c1 c2 1 b1 1 b2 v i c1 c2 = 0, nên ∈ A. 0 c1 0 c2 −1 1 b 1 b 1 −b/c • ∀ ∈ A thì = ∈A 0 c 0 c 0 1/cTheo tiêu chu n 2 v nhóm con ta có A ⊂ X nTi p t c ki m tra đi u ki n chu n t c: a b 1 b1 • ∀ ∈ X, ∀ ∈ A thì: 0 c 0 c1 −1 a b 1 b1 a b a b 1 b1 1/a −b/ac = = 0 c 0 c1 0 c 0 c 0 c1 0 1/c 1 x ∈A 0 c1 −b ab1 + bc2(v i x = + , tuy nhiên đây có th ta không c n tính c th x, vì đòi h i m t ma c ctr n thu c A ch c n có s 1 góc trên bên trái và c1 = 0).V y: A XVí d 2. Cho nhóm X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} v i phép toán hai ngôi: (k1 , k2 )(l1 , l2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 )(đã ki m tra X là nhóm trong ví d 1.§1)Ch ng minh r ng nhóm con A sinh b i ph n t a = (0, 1) là nhóm con chu n t c c a X.Phân tích ban đ u: Trong bài toán này gi thi t đã cho A là nhóm con < a >. Vì v y ch cònph i ki m tra A tho đi u ki n chu n t c. Tuy nhiên mu n làm đi u đó thì ph i bi t đư c d ngt ng quát ph n t c a A, t c trư c h t ph i mô t tư ng minh các ph n t c a A. GI I:Ta có: A =< a >= {an : n ∈ Z} v i a = (0, 1)Trư c h t ta ch ra (0, 1)n = (0, n) khi n > 0 theo qui n p.Th t v y:V i n = 1 thì (0, 1)1 = (0, 1)Gi s (0, 1)n−1 = (0, n − 1) v i n ≥ 2Khi đó: (0, 1)n = (0, n − 1)(0, 1) = (0 + 0, n − 1 + (−1)0 1) = (0, n)V y: (0, 1)n = (0, n) v i m i n > 0V i n < 0 thì −n > 0 nên:(0, 1)n = [(0, 1)−n ]−1 = (0, −n)−1 = (0, (−1)0+1 (−n)) = (0, n)Cu i cùng: (0, 1)0 = (0, 0).V y: A = {(0, 1)n : n ∈ Z} = {(0, n) : n ∈ Z}Bây gi ta ki m tra A th a đi u ki n chu n t c:∀(k1 , k2 ) ∈ X, ∀(0, n) ∈ A: 2(k1 , k2 )(0, n)(k1 , k2 )−1 = (k1 , k2 )(0, n)(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) = (0, m) ∈ A(v i m = (−1)k1 n; tuy nhiên giá tr m có th không ph i tính c th vì đòi h i ph n t thu cA ch c n thành ph n đ u b ng 0 là đ !)K t lu n: A XVí d 3. Cho nhóm X như ví d 2, và cho t p B = {(n, 0) : n ∈ Z} ⊂ XCh ng minh r ng B là nhóm con không chu n t c c a X. GI I:Đ ki m tra B ⊂ X, ta có th dùng tiêu chu n 2 n • ∀(n, 0), (m, 0) ∈ B ta có: (n, 0)(m, 0) = (n + m, 0) ∈ B • ∀(n, 0) ∈ B : (n, 0)−1 = (−n, 0) ∈ BV y B ⊂ X Đ ch ra B không th a đi u ki n chu n t c ta ch ra t n t i các ph n t (1, 1) ∈ X nvà (1, 0) ∈ B mà:(1, 1)(1, 0)(1, 1)−1 = (1 + 1, 1)(−1, 1) = (1, 1 + (−1)2 1) = (1, 2) ∈ B /V y : B là nhóm con không chu n t c c a X.Khái ni m nhóm con chu n t c còn có th đư c đ nh nghĩa nh vào các l p ghép trái và l pghép ph iTa nh c l i các khái ni m l p ghép theo nhóm con đ dùng cho các ví d ti p theo.Cho nhóm X, A ⊂ X và x ∈ X. Khi đó: n- L p ghép trái xA = {xa : a ∈ A}- L p ghép ph i Ax = {ax : a ∈ A}.V m i quan h gi a các l p ghép theo nhóm con ta có vài k t qu c n ghi nh đ s d ng: • N u y ∈ xA thì yA = xA. • Hai l p ghép xA và yA thì ho c xA ∩ yA = ∅ ho c xA ≡ yA.Khái ni m nhóm con chu n t c đ nh nghĩa trên cơ s các l p ghép là :” Nhóm con A ⊂ X là nhóm con chu n t c c a X n u v i m i x ∈ X thì xA = Ax”. nHi n nhiên là đ nh nghĩa m i này hoàn toàn tương đương v i đ nh nghĩa ban đ u, đ c gi cóth xem các ch ng minh trong các tài li u v đ i s đ i cương, đây ta ch nh c l i đ s d ng.Ví d 4. Cho nhóm X và các nhóm con chu n t c c a X là A, B. Ch ng minh AB = BA vàAB X GI I:Ta có AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} = {ab : b ∈ B} = aB = Ba = {ba : b ∈ B} = a∈A a∈A a∈A ...