Ôn tập đại số cơ sở bài 6-TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 6-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 6-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS Tr n Huyên Ngày 30 tháng 12 năm 2004Bài 6. Các Bài T p V Nhóm Đ ng C uTheo đ nh nghĩa, nhóm X là đ ng c u v i nhóm Y (và vi t X ∼ Y ) n u t n t i m t ánh x = fđ ng c u f : X → Y . Đ ch ra X đ ng c u v i Y theo ánh x f , ta vi t X ∼ Y . = Quan h đ ng c u trong l p các nhóm là quan h tương đương, vì X 1 • V i m i nhóm X: X ∼ X = f f −1 • N u X ∼ Y thì Y ∼ X = = f g gf • N u X ∼ Y và Y ∼ Z thì X ∼ Z = = =Như v y, đ ch ng t hai nhóm X, Y là đ ng c u v i nhau ta có th thi t l p m t ánh x đ ngc u t X t i Y hay t Y t i X ho c có th thi t l p các ánh x đ ng c u t X, Y t i m tnhóm th ba.Ví d 1: Cho t p h p các ma tr n c p hai sau 1 a A= :a∈R 0 1 a) Ch ng minh r ng A là nhóm v i phép nhân ma tr n. b) Ch ng minh r ng A ∼ (R+ , ·) trong đó (R+ , ·) là nhóm nhân các s th c dương. = Gi i ∗a) Đ ch ng minh A là nhóm v i phép nhân ma tr n ta ch c n ch ng minh A ⊂ (M2 , ·), trong n ∗đó (M2 , ·) là nhóm nhân các ma tr n c p hai không suy bi n. Xin dành vi c ki m tra chi ti tcho b n đ c.b) Đ ch ng minh A ∼ (R+ , ·) ta xây d ng ánh x : = 1 ln a f : R+ → A mà ∀a ∈ R+ thì f (a) = 0 1 1D th y f là đ ng c u vì ∀a, b ∈ R+ ta có 1 ln ab 1 ln a + ln b f (a.b) = = 0 1 0 1 1 ln a 1 ln b = = f (a)f (b) 0 1 0 1Tính 1 ln a 1 0 Ker f = a ∈ R+ : f (a) = = 0 1 0 1 = a ∈ R+ : ln a = 0 = {1}V y f đơn c u. 1 x 1 xHi n nhiên f toàn ánh vì v i m i ∈ A, t n t i a = ex ∈ R+ mà f (a) = . 0 1 0 1V y f là đ ng c u: A ∼ (R+ , ·). =Nh n xét 1: Chúng ta đã khá quen bi t v i ánh x đ ng c u ln : (R+ , ·) → (R, +), tnhóm nhân các s th c dương t i nhóm c ng các s th c, đ ng th i t phép nhân trong 1 a 1 b 1 a+bA: = ta d phát hi n ra: A ∼ (R, +). Vì v y ta có th ch ng = 0 1 0 1 0 1minh A ∼ (R+ , ·) thông qua hai đ ng c u này và th t ra ánh x đ ng c u xây d ng trên là =s k t h p hai ánh x nói trên.Nh n xét 2: N u chúng ta nh r ng, m t ánh x song ánh f t m t nhóm X t i t p Y có trangb phép toán hai ngôi mà f b o toàn các phép toán thì khi đó Y cũng là m t nhóm. Và do v ytrong bài toán trên, k t qu câu (a) có th đư c suy tr c ti p t câu (b) mà không c n ph iki m tra đ c l p.Ví d 2: Cho nhóm X và A, B là các nhóm con chu n t c c a X th a A.B = X và A∩B = {e}.Ch ng minh: a) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba b) X ∼ A × B = 2 Gi ia) Ta có ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thì aba−1 b−1 = (aba−1 )b−1 ∈ B vì B X aba−1 b−1 = a(ba−1 b−1 ) ∈ A vì A XNhư v y: aba−1 b−1 ∈ A ∩ B = {e} t c là aba−1 b−1 = e ⇔ ab = ba.b) Đ ch ng minh X ∼ A × B (tích tr c ti p c a A và B) ta xây d ng ánh x f : A × B → X =mà v i m i (a, b) ∈ A × B thì f (a, b) = ab. • Ta ki m tra f là đ ng c u: ∀(a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B thì f [(a1 , b1 ), (a2 , b2 )] = f (a1 a2 , b1 b2 ) = a1 (a2 b1 )b2 = (a1 b1 )(a2 b2 ) = f (a1 , b1 ).f (a2 , b2 ) ( vì a2 b1 = b1 a2 theo (a)) • Tính Ker f = {(a, b) : ab = e} = {(a, b) : a = b−1 ∈ A ∩ B} = {(a, b) : a = b−1 = e} = {(e, e)}.V y f đơn c u. • Tính toàn ánh c a f đư c suy ra t X = A.B. Th t v y, v i m i x ∈ X, ∃a ∈ A, b ∈ Bsao cho x = ab nên t n t i (a, b) ∈ A × B mà f (a, b) = x.Nh n xét 1: Đ ý r ng tính chu n t c c a hai nhóm con A, B đây ch đư c dùng đ ch ngminh cho tính ch t giao hoán c a hai ph n t a ∈ A, b ∈ B t c là ab = ba, ph c v cho vi cki m tra f : A × B → X là đ ng c u. B i v y, m t bi n d ng c a ví d 2 là: Cho A, B là cácnhóm con c a X th a A.B = X, A ∩ B = {e} và ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba. Ch ng minh r ngX ∼ A × B. =Nh n xét 2: Trong đ ng c u X ∼ A × B nh n xét 1 s cho ta A X và B X. Như v y =v i các gi thi t A.B = X và A ...