Ôn tập đại số cơ sở bài 8-TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 8-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 8-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 18 tháng 3 năm 2005 Bài 8. Các Bài Toán Ki m Tra Vành Và Vành Con Cũng như k năng ki m tra nhóm, k năng ki m tra vành là m t trong nh ng k năng cơb n luôn có m t trong các đ thi đ i s cơ s .Trên cơ s k th a các tri th c v nhóm ta có th đ nh nghĩa khái ni m vành như sau : Đ nh nghĩa : Vành là m t nhóm c ng giao hoán (X; +) đư c trang b thêm m t phéptoán nhân có tính chât k t h p:∀x, y, z ∈ X : (xy)z = x(yz)và có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng∀x, y, z ∈ X : x(y + z) = xy + xz và (y + z)x = yx + zxNhư v y :Vành là m t t p X = ø trên đó đã xác đ nh đư c hai phép toán hai ngôi : m t kí hi u theo l ic ng, còn l i kí hi u theo l i nhân th a : 1. (X; +) là nhóm giao hoán. 2. Phép nhân trong X có tính ch t k t h p. 3. Phép nhân phân ph i đ i v i phép c ng. Mu n ki m tra m t t p X cho trư c v i các phép toán đã cho là m t vành, hi n nhiên làchúng ta s ph i l n lư t ki m tra các đi u ki n đ nh nghĩa đã đưa ra trên. 1. Ví d 1: Ch ng minh r ng t p Mn các ma tr n th c vuông c p n là m t vành v i hai phép toán c ng và nhân ma tr n. Gi i Hi n nhiên t ng hay tích c a hai ma tr n th c vuông c p n l i là m t ma tr n th c vuông c p n nên các phép c ng, nhân ma tr n là các phép toán hai ngôi trên Mn . Theo 1 lý thuy t nhóm ta đã có (Mn ;+) là nhóm c ng giao hoán. Theo đ i s tuy n tính ta bi t phép nhân các ma tr n có tính ch t k t h p và có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng ma tr n. V y theo đ nh nghĩa : (Mn ; + ; .) là m t vành. Nh n xét : Khi ki m tra vành X đòi h i trư c h t ph i ki m tra (X;+) là nhóm giao hoán, n u đi u đó đã đư c ki m tra trong ph n nhóm thì ta có th không c n ph i ki m tra l i mà ch nh c r ng đi u đó đã đư c ki m tra trư c đây trong lí thuy t nhóm r i. Cũng như bên nhóm n u như m t đòi h i nào đó trong đ nh nghĩa vành (ch ng h n tính ch t k t h p c a phép nhân...) n u đã đư c đ m b o b i k t qu c a m t chuyên ngành nào đó (ch ng h n đ i s tuy n tính, s h c,...) thì ta cũng ch c n nói l i r ng đi u đó đã có theo chuyên ngành đó mà không c n vi t bi u th c ki m tra chi ti t. Ta nh n xét r ng phép c ng trong vành đã có đ các tính ch t thông d ng : k t h p, giao hoán, có đơn v , t n t i ph n t đ i cho m i ph n t ; trong lúc đó phép nhân ch đòi h i thêm duy nh t tính ch t k t h p. T c là có th b sung thêm cho phép nhân các tính ch t thông d ng còn l i. Khi phép nhân trong vành X có tính ch t giao hoán ta g i vành X là vành giao hoán. Khi phép nhân trong vành X có thêm đơn v (kí hi u 1 hay e) ta g i vành X là vành có đơn v . Vành (Mn ; +; .) ki m tra ví d 1 là vành có đơn v (đơn v c a Mn là ma tr n đơn v E) tuy nhiên không là vành giao hoán.2. Ví d 2 : Cho X là vành, Z là vành các s nguyên. Trên t p X × Z = {(x, n) : x ∈ X, n ∈ Z} ta xác đ nh các phép toán : (x1 , n1 ) + (x2 , n2 ) = (x1 + x2 , n1 + n2 ) (x1 , n1 )(x2 , n2 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 ) Ch ng minh X × Z là vành có đơn v . Vành này có giao hoán không. V i di u ki n nào cho X thì X × Z giao hoán? Gi i : Theo cách xác đ nh phép toán c ng trong X × Z (là phép c ng theo t ng thành ph n !) ta th y (X × Z, +) là tích Decac c a hai nhóm c ng giao hoán (X, +) và (Z, +) nên theo lí thuy t nhóm ta có (X × Z, +) là nhóm c ng giao hoán. V y ta còn ph i ki m tra phép nhân k t h p, và phép nhân phân ph i v i phép c ng. Th t v y : ∀(x1 , n1 ), (x2 , n2 ), (x3 , n3 ) ∈ X × Z : • [(x1 , n1 )(x2 , n2 )](x3 , n3 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 )(x3 , n3 ) = (x1 x2 x3 + n1 x2 x3 + n2 x1 x3 + x1 x2 n3 + n3 n1 x2 + n3 n2 x1 + n1 n2 x3 , n1 n2 n3 ) = (x1 , n1 )(x2 x3 + n2 x3 + n3 x2 , n2 n3 ) = (x1 , n1 )[(x2 , n2 )(x3 , n3 )] (1) 2 • (x1 , n1 )[(x2 , n2 ) + (x3 , n3 )] = (x1 , n1 )[(x2 + x3 , n2 + n3 )] = (x1 x2 + x1 x3 + n1 x2 + n1 x3 + +n2 x1 + n3 x1 , n1 n2 + n1 n3 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 ) + (x1 x3 + n1 x3 + n3 x1 , n1 n3 ) = (x1 , n1 )(x2 , n2 ) + (x1 , n1 )(x3 , n3 ) (2) • [(x2 , n2 ) + (x3 , n3 )](x1 , n1 ) = [(x2 + x3 , n2 + n3 )(x1 , n1 )] = (x2 x1 + x3 x1 + n1 x2 + n1 x3 + n2 x1 + n3 x1 , n2 n1 + n3 n1 ) = (x2 x1 + n1 x2 + n2 x1 , n2 n1 ) + (x3 x1 + n1 x3 + n3 x1 , n3 n1 ) = (x2 , n2 )(x1 , n1 ) + (x3 , n3 )(x1 , n1 ) (3) Các h th c (1) cho ta phép nhân k t h p, còn các h th c (2) và (3) cho ta tính phân ph i c a phép nhân đ i v i phép c ng. V y (X × Z; +, .) là m t vành. Đơn v trong X là c p (0,1) vì ∀(x, n) ∈ X × Z : (x, n)(0, 1) = (x.0 + n.0 + 1.x, n.1) = (x, n) (0, 1)(x, n) = (0.x + 1.x + n.0, 1.n) = (x, n) N u vành X không giao hoán, t c t n t i x, y ∈ X mà xy = yx. Khi đó xét hai c p (x, 1), (y, 1) ∈ X × Z ta có: (x, 1)(y, 1) = (xy + x + y, 1) = (yx + x + y, 1) = (y, 1)(x, 1) t c vành X × Z không giao hoán. N u vành X giao hoán, khi đó ∀(x1 , n1 ), (x2 , n2 ) ∈ X × Z ta có : (x1 , n1 )(x2 , n2 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 ) = (x2 x1 + n2 x1 + n1 x2 , n2 n1 ) = (x2 , n2 )(x1 , n1 ) t c X × Z là vành giao hoán. Như v y X × Z là vành giao hoán ⇔ X là vành giao hoán. Khái ni m vành con c a m t vành cho trư c X dư c đ nh nghĩa m t cách tương t khái ni m nhóm con c a m t nhóm. Đó là t p ø = A ⊂ X, n ...