Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 2 - PGS TS Vinh Quang

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 2 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 2 - PGS TS Vinh Quang Đ IS TUY N TÍNH Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS. TS M Vinh Quang Ngày 28 tháng 10 năm 2004 Bài 2 : Các Phương Pháp Tính Đ nh Th c C p n Đ nh th c đư c đ nh nghĩa khá ph c t p, do đó khi tính các đ nh th c c p cao (c p l nhơn 3) ngư i ta h u như không s d ng đ nh nghĩa đ nh th c mà s d ng các tính ch t c ađ nh th c và thư ng dùng các phương pháp sau.1 Phương pháp bi n đ i đ nh th c v d ng tam giác S d ng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng (c t) c a ma tr n và các tính ch t c a đ nhth c đ bi n đ i ma tr n c a đ nh th c v d ng tam giác. Đ nh th c sau cùng s b ng tích c acác ph n t thu c đư ng chéo chính (theo tính ch t 3.3 ).Ví d 1.1: Tính đ nh th c c p n (n 2) sau đây: 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 D= 2 2 3 ... 2 ... ... ... ... ... 2 2 2 ... nBài gi i: Nhân dòng (2) v i (−1) r i c ng vào dòng (3), (4), . . . , (n). Ta có 1 2 2 ... 2 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 0 −2 −2 . . . −2 (1) D= 0 0 1 ... 0 = 0 0 1 ... 0 = (−2)(n − 2)! ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... n−2 0 0 0 ... n−2(1): nhân dòng (1) v i (−2) c ng vào dòng (2). 1Ví d 1.2: Tính đ nh th c c p n a b b ... b b a b ... b D= b b a ... b ... ... ... ... ... b b b ... aBài gi i: Đ u tiên công các c t (2), (3),. . . , (n) vào c t (1). Sau đó nhân dòng (1) v i (−1)c ng vào các dòng (2), (3),. . . , (n). Ta có: a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b a b ... b 0 a−b 0 ... 0 D= a + (n − 1)b b a ... b = 0 0 a−b ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... a + (n − 1)b b b ... a 0 0 0 ... a − b = a + (n − 1)b (a − b)n−12 Phương pháp qui n p Áp d ng các tính ch t c a đ nh th c, bi n đ i, khai tri n đ nh th c theo dòng ho c theoc t đ bi u di n đ nh th c c n tính qua các đ nh th c c p bé hơn nhưng có cùng d ng. T đóta s nh n đư c công th c truy h i. S d ng công th c truy h i và tính tr c ti p các đ nh th c cùng d ng c p 1, c p 2, . . . , đsuy ra đ nh th c c n tính.Ví d 2.1: Tính đ nh th c 1 + a1 b 1 a1 b 2 ... a1 bn a2 b 1 1 + a2 b 2 ... a2 bn Dn = ... ... ... ... an b 1 an b 2 ... 1 + an b nBài gi i: S d ng tính ch t 2.4, tách đ nh th c theo c t n, ta có: 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 0 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 a1 b n a2 b 1 ... a2 bn−1 0 a2 b 1 ... a2 bn−1 a2 b n Dn = ... ... ... ... + ... ... ... ... an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 0 an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 an−1 bn an b 1 ... an bn−1 1 an b 1 ... an bn−1 an b n 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 0 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 a1 a2 b 1 ... a2 bn−1 0 a2 b 1 ... a2 bn−1 a2 = ... ... ... . . . + bn ... ... ... ... an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 0 an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 an−1 an b 1 ... an bn−1 1 an b 1 ... an bn−1 an Khai tri n đ nh th c đ u theo c t (n) ta s có đ nh th c đ u b ng Dn−1 . Nhân c t (n) c a đ nh th c th hai l n lư t v i (−bi ) r i c ng vào c t i (i = 1, 2, . . . , n − 1). 2Ta đư c: 1 0 ... 0 a1 0 1 ... 0 a2 Dn = Dn−1 + bn ... ... ... ... ... = Dn−1 + an bn 0 0 ... 1 an−1 0 0 ... 0 anV y ta có công th c truy h i Dn = Dn−1 + an bn . Vì công th c trên đúng v i m i n nên ta có Dn = Dn−1 + an bn = Dn−2 + an−1 bn−1 + an bn = · · · = D1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bnVì D1 = a1 b1 + 1 nên cu i cùng ta có Dn = 1 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bnVí d 2.2: Cho a, b ∈ R, ...