Phần 1: Lý thuyết-Đạo hàm riêng đạo hàm hợp đạo hàm ẩn

Tài liệu tổng hợp lý thuyết nội dung cơ bản của đạo hàm
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phần 1: Lý thuyết-Đạo hàm riêng đạo hàm hợp đạo hàm ẩnPHẦN I LÝ THUYẾTĐẠO HÀM RIÊNG ĐẠO HÀM HỢP ĐẠO HÀM ẨNĐẠO HÀM RIÊNGCoi hàm z=z(x,y)xác định và liên tục tại M0(x0,y0)nếu cho biến y=y0 khôngđổi,lúc này hàm z(x,y) là hàm một biến theo x và ta có thể lấy đạo hàm 1 biến(đã biết) theo biến x z ( x 0  x, y0 )  z ( x0 , y0 )  z x ( x0 , y0 )lim xx  0 zVà ta kí hiệu là đạo hàm riêng theo biến x zx  x zTương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng theo biến y: z y  yVí dụ z  xy 2  y  z x  y 2 , z y  2 xy  1 ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC CAOa-đạo hàm hỗn hợpLấy đạo hàm theo biến x của hàm z y ( x, y ) ta được z yx ( x, y ) là đạo hàm 2 lần theo z xy ( x, y ) và z yx ( x, y ) có khác nhaubiến y trước rồi tới biến x sau.Vậy thì giữa không?Định lý (Schwarz)Giả sử zx , z y , z xy tồn tại lien tục thì có z yx và z xy  z yx Ví dụ f  x 3 y 4  f xy  12 x 2 y 3 , f yx  12 x 2 y 3 b-tương tự ta có thể lấy đạo hàm cấp n theo biến x,cấp m theo biến y kí hiệu  n  m ! cách biểu diễn f n mlà f xn m và có tất cả nm nm y xy n !m ! 1ĐẠO HÀM HỢPt  (t1 ,..., tm )  R m , x  ( x1 ,..., xm )  R m , z  z ( x)  z ( x1 ,..., xn )  RR m  t  x  x (t )  g (t )  R n ta có đạo hàm hợp của z0g(t) như sau:zt1  z x1 ( x1 )t1  z x2 ( x2 )t1  ...  z xn ( xn )t1 zt2  z x1 ( x1 )t 2  z x2 ( x2 )t 2  ...  zxn ( xn )t2 .........................................................ztm  z x1 ( x1 )t m  z x2 ( x2 )t m  ...  zxn ( xn )tm Ta có thể viết đạo hàm hợp của z0g(t)dưới dạng ma trận như sau:M 1m  ( z0 g )  ( z )  ( g )  M1n  M nm  M 1m  ( x1 )t m   ( x1 )t1 ( x1 )t1    ( x2 )t m  ( x2 )t 2 ( x )  z xn   2 t1  ztn    z x1 zt1 zt2 z x2         ( xn )t m   ( xn )t ( xn )t 2   1Ví dụ z  z ( x )  z ( x1 , x2 )  x12  x2 , ( x1 , x2 )  (3t1  t2 , t12  t2 ) 3 2 4Tính zt1 , zt2  ( x1 )t1 ( x1 )t 2  2t2  3 2 zt1 zt2    z x1 ...