Phần 2: Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp chương: Hàm số

Tài liệu có 170 bài tập với khoảng gần 550 câu nhỏ. Hầu hết các bài tập trong tài liệu “Bài tập Đại số sơ cấp” được chúng tôi trình bày lời giải tương đối chi tiết nhằm giúp sinh viên nhất là sinh viên các lớp hệ đào tạo Liên thông Cao đẳng lên Đại học dễ dàng trong việc củng cố lý thuyết và giải các bài tập tương tự. Một số bài được trình bày nhiều cách giải, mục đích giúp sinh viên có cách tiếp cận và đi đến kết quả của bài toán từ nhiều hướng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phần 2: Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp chương: Hàm số PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG I. HÀM SỐ 2 x −1 I.1. Giả sử y0 ∈ T f , khi đó y0 = (1) có nghiệm đố i với x. 2 x + x+4 (1) ⇔ y0 ( x 2 + x + 4 ) = 2 x − 1 ⇔ y0 x 2 + ( y0 − 2 ) x + 4 y0 + 1 = 0 (2) Xét các trường hợp sau: + Xét y0 = 0. 1 Khi đó, ( 2 ) ⇔ −2 x + 1 = 0 ⇔ x = . Vậy, y0 = 0 ∈ T f . 2 + Xét y0 ≠ 0. Khi đó, (2) có nghiệm khi và chỉ khi 2 ∆ = ( y0 − 2 ) − 4 y0 ( 4 y0 + 1) ≥ 0 2 ⇔ −15 y0 − 8 y0 + 4 ≥ 0 4 − 2 19 4 + 2 19 ⇔ ≤ y0 ≤ 15 15  4 − 2 19 4 + 2 19  Vậy, tập giá trị của hàm số là T f =  ; . 15 15   I.2. Hàm số đã cho có tập xác định D = ℝ. x +1 (1) có nghiệm đố i với x. Giả sử y0 ∈ T f , khi đó y0 = x2 + a (1) ⇔ y0 ( x2 + a ) = x + 1 ⇔ y0 x 2 − x + ay0 − 1 = 0 (2) Xét các trường hợp sau + y0 = 0. (2) ⇔ x = −1 ⇒ y0 = 0 ∈ T f . + y0 ≠ 0. khi đó, (2) có nghiệm x khi và chỉ khi ∆ = 1 − 4 ( ay0 − 1) y0 ≥ 0 1− a +1 1+ a +1 2 ⇔ −4ay0 + 4 y0 + 1 ≥ 0 ⇔ . ≤ y0 ≤ 2a 2a Như vậy tập giá trị của hàm số chứa đoạn [ 0;1] khi và chỉ khi a > 0 và hệ điều kiện sau 1 − 1+ a ≤0  5  2a ⇔0I.3. Hàm số đã cho có tập xác định là D = ℝ \ {m;1}. Tập xác định D là tập đối xứng khi 1 và chỉ khi m = −1. Với m = −1 thì hàm số trở thành y = . Hàm số này là một hàm số 2 x −1 chẵn. Vậy, khi m = −1 thì hàm số đã cho là hàm số chẵn. I.4. Hàm số đã cho có tập xác định là: D = ℝ . 1) ∀a ∈ D, ta có f (a) = f (0 + a) = f (0) + f (a) ⇒ f (0) = f (a ) − f (a) ⇒ f (0) = 0. Vậy, f (0) = 0 (Đpcm). 2) Theo giả thiết hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ nên tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng. Mặt khác ta lại có: 0 = f (0) = f (− a + a ) = f (− a ) + f (a) ⇒ f (− a ) = − f (a ). Vậy, f là hàm số lẻ. I.5. Trường hợp phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm thì số nghiệm của phương trình bằng 0. Giả sử phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm. Gọ i x0 là một nghiệm của phương trình f ( x ) = 0, ta có f ( x0 ) = 0 và x0 ≠ 0. Vì y = f ( x ) là hàm số lẻ nên f ( − x0 ) = − f ( x0 ) . Suy ra f ( − x0 ) = 0 và do đó − x0 cũng là một nghiệm của phương trình f ( x ) = 0. Từ đây ta có nếu x0 là một nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 thì − x0 cũng là một nghiệm của phương trình f ( x ) = 0. Như vậy, số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 là một số chẵn. I.6. a) Ta có: f ( x1 + x2 ) + f ( x1 − x2 ) = 2 f ( x1 ) f ( x2 ) (1), ∀x1 , x2 ∈ ℝ . Thay x1 = x2 = 0 vào 2 vế của (1) ta được 2 2 f ( 0 ) = 2  f ( 0 )  ⇔ f ( 0 ) = 0 ∨ f ( 0 ) = 1 . Nhưng theo bài ra ta có f ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ℝ, do   đó f ( 0 ) = 1 . b) Hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ nên tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng. Thay x1 = 0; x2 = x vào (1) ta được: f ( x) + f (−x) = 2 f ( x) ⇔ f ( x ) = f ( − x ) . ∀x ∈ ℝ . Vậy, f ( x ) là một hàm số chẵn. I.7. 1) y = cos ( 2 x + 3) . Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ. Hàm số y = f ( x) = cos ( 2 x + 3) là hàm số tuần hoàn vì có T = 2π sao cho 77 i∀x ∈ ℝ ⇒ x ± 2π ∈ ℝ. i∀x ∈ ℝ ⇒ f ( x ± 2π ) = cos  2 ( x ± 2π ) + 3 = cos ( 2 x + 3) ± 4π  = cos ( 2 x + 3) = f ( x )     Chu kì của hàm số là T0 = π . Giả sử còn có 0 < l < π sao cho f ( x + l ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ ⇔ cos  2 ( x + l ) + 3 = cos ( 2 x + 3) (1), ∀x ∈ ℝ   3 Chọn x = − ta có (1) ⇔ cos 2l = 1 , với 0 < l < π , (Vô lý). 2 Vậy, chu kì của hàm số là T0 = π . 2) y = sin 2 x. Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ. 1 − cos 2 x Hàm số y = f ( x ) = sin 2 x = là hàm tuần hoàn vì có T = 2π sao cho 2 i∀x ∈ ℝ ⇒ x ± 2π ∈ ℝ 1 − cos  2 ( x ± 2π )  1 − cos ( 2 x ± 4 ...