PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tham khảo tài liệu phần ii các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCPhương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với MVí dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z) Giải: 1 a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) 2 1   ( x  y ) 2  ( x z ) 2  ( y  z ) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R = 2 Vì (x-y)2  0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2  0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2  0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z+1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : 2 2 a2  b2  c2  a  b  c  a2  b2  a  b    a)  ; b) c) Hãy tổng quát 3 3 2 2  bài toán Giải: 2 a2  b2  a  b  a) Ta xét hiệu   2 2   2 a2  b2 a 2  2ab  b 2 1 1 = 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab  = a  b   0 2  = 4 4 4 4 2 a2  b2  a  b  Vậy  . Dấu bằng xảy ra khi a=b 2 2 b)Ta xét hiệu 2a2  b2  c2  a  b  c  1   2 2 2  = a  b   b  c   c  a   0 .Vậy  3 3 9  2a2  b2  c2  a  b  c    3 3   Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 2 a 2  a 2  ....  a n  a1  a 2  ....  a n  2 2c)Tổng quát 1   n n   Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A  BVí dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải:  m2   m2   m2   m2   mn  n 2     mp  p 2     mq  q 2       4  m  1  0 4  4  4       2 2 2 2 m  m  m  m     n     p     q     1  0 (luôn đúng) 2  2  2  2  m m  2 n 0  n  2 m  m   p0  m2 ...