PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP 2 VỚI CÁC BIẾN ĐỘC LẬP

Tham khảo tài liệu phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 với các biến độc lập, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP 2 VỚI CÁC BIẾN ĐỘC LẬP CHƯƠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN §1. PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP 2 VỚI CÁC BIẾN ĐỘC LẬP1. Phân loại các phương trình: Khi khảo sát các bài toán vật lí, ta nhận được phươngtrình đạo hàm riêng cấp 2 dạng: n ∂ 2u n ∂u ∑ a i, j (x) + ∑ bi (x) ∂x i ∂y j i=1 ∂x i + c( x ) u = d ( x ) (1) i , j=1Trong đó aij(x), bi(x), c(x) và d(x) là các hàm nhiều biến đã cho của x = (x1, x2,...xn)còn u(x) là các hàm cần xác định. Trong thực tế ta thường gặp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2với hai biến độc lập dạng: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u a 2 + 2b + c 2 + d + e + gu = h (2) ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂yTrong đó a, b, c, d, g, h là các hàm hai biến của x và y.Trong giáo trình này ta chỉ xét các phương trình dạng (2). Để đơn giản ta viết lại (2): ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎛ ∂u ∂u ⎞ a 2 + 2b + c 2 + Φ⎜ x, y, u, , ⎟ = 0 ⎜ (3) ∂x ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠Các phương trình này có thể phân thành các loại sau:Phương trình hyperbolic: ∂ 2u ⎛ ∂u ∂u ⎞ = Φ1 ⎜ x, y, u, , ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠Phương trình eliptic: ∂ 2u ∂ 2u ⎛ ∂u ∂u ⎞ + 2 = Φ 2 ⎜ x, y, u, , ⎟ ⎜ ∂x 2 ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠Phương trình parabolic: ∂ 2u ⎛ ∂u ∂u ⎞ = Φ 3 ⎜ x, y, u , , ⎟ ⎜ ∂x 2 ⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠2. Các bài toán cơ bản của phương trình vật lí - toán: a. Bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp của phương trình truyền sóng: Mộtphương trình truyền sóng là một phương trình dạng hyperbolic. Phương trình truyềnsóng dạng chính tắc là: ∂ 2 u ( x, y, z, t ) 2⎛ ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 2 = a ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ + f1 (x, y, z, t ) ⎜ ∂x ∂t 2 ⎝ ∂y ∂z ⎟ ⎠Giả sử ta cần xác định hàm u(x, y, z, t) trong miền V và t ≥ 0. V được giới hạn bằngmặt biên kín và trơn S với các điều kiện đầu: u ( x, y, z, t ) t =0 = u o ( x, y, z) ∂u = u ∗ ( x , y, z ) o ∂t t =0và điều kiện biên: 150 u ( x, y, z, t ) ( x ,y ,z )∈S = u1 ( x, y, z)Bài toán giải phương trình trên với các điều kiện đầu và điều kiện biên được gọi là bàitoán hỗn hợp của phương trình truyền sóng. Nếu ta xét bài toán trong miền cách xacác biên mà ở đó điều kiện biên không có tác dụng thì ta gặp bài toán Cauchy với điềukiện đầu và xét trong toàn bộ không gian. b. Bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp của phương trình truyền nhiệt: Chophương trình truyền nhiệt dưới dạng chính tắc: ∂u ( x, y, z, t ) 2⎛ ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 2 = a ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ + f1 (x, y, z, t ) ⎜ ∂x ∂t ⎝ ∂y ∂z ⎟ ⎠Khi đó bài toán hỗn hợp của phương trình truyền nhiệt là bài toán tìm nghiệm củaphương trình với điều kiện đầu và điều kiện biên: u ( x, y, z, t ) t =0 = u o ( x, y, z) u ( x, y, z, t ) ( x ,y ,z )∈S = u1 ( x, y, z)Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt là bài toán tìm nghiệm của phươngtrình truyền nhiệt trong toàn bộ không gian. §2. PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT1. Bài toán Cauchy - Phương trình sóng của dây vô hạn và nửa vô hạn: Bài toánCauchy của phương trình hyperbolic trong trường hợp một biến được xác định nhưsau: ∂ 2 u ( x, t ) 2 ∂ u 2 =a -∞ ≤ x ≤ ∞ , t ≥ 0 (1) ∂t 2 ∂x 2với các điều kiện ∂u u ( x , t ) t =0 = u o ( x ) ; = u1 ( x ) (2) ∂t t =0Đây là bài toán dao động tự do của dây dài vô hạn. Để giải phương trình (1) ta biến đổi nó bằng cách dùng các biến: ξ = x + at (3) η = x − atnghĩa là: ...