Phân tích các số dạng 10n + 1 ra thừa số nguyên tố

Bài báo "Phân tích các số dạng 10n + 1 ra thừa số nguyên tố" trình bày cách sử dụng Geogebra như một công cụ thí nghiệm trong phân tích số 10n + 1 ra thừa số nguyên tố, và trả lời về cơ bản câu hỏi nêu trên. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân tích các số dạng 10n + 1 ra thừa số nguyên tố Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 PHÂN TÍCH CÁC SỐ DẠNG 10n + 1 RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ Nguyễn Thị Hồng Hạnh∗, Đỗ An Khánh†, Bùi Thị Hằng Mơ‡, Tạ Duy Phượng§ Tóm tắt nội dung Sử dụng Geogebra, bài viết trả lời về cơ bản câu hỏi của Giáo sư Lại Đức Thịnh nêu trong [4] về phân tích số dạng 10n + 1 ra thừa số nguyên tố. 1. Dẫn nhập Trong tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 29 (tháng 2-1967, trang 15, [4]), Giáo sư Lại Đức Thịnh đã viết như sau: “Bài toán: Các số nguyên tố có dạng 1000 . . . 0001 gồm bao nhiêu chữ số 0 là một bài toán chưa giải được. Theo tìm hiểu của chúng tôi, hơn 50 năm qua chưa có phản hồi nào về bài toán này, có lẽ cũng vì không ai đủ sức (bằng tay) để phân tích các số dạng 100..001 với n số 0 ra thừa số nguyên tố. Bài báo này trình bày cách sử dụng Geogebra như một công cụ thí nghiệm trong phân tích số 10n + 1 ra thừa số nguyên tố, và trả lời về cơ bản câu hỏi nêu trên. 2. Giới thiệu về Geogebra Geogebra là một phần mềm toán học có thể làm mọi tính toán toán học và vẽ hình trong chương trình toán phổ thông và đại học. Hơn nữa, Geogebra được cài đặt phần mềm chuyển đổi tiếng Anh sang tiếng Việt, do đó Geogebra là một công cụ tiện dùng và hữu ích trong dạy và học, đặc biệt trong dạy và học theo chương trình và sách giáo khoa mới. Bạn đọc có thể tìm hiểu cài đặt và sử dụng Geogebra theo [1] và tìm hiểu một số ứng dụng của Geogebra trong [2], [3].∗ THPT Quang Trung, Đống Đa, Hà Nội† THPT Trần Đại Nghĩa, Thanh Oai, Hà Nội‡ Học viên Cao học, ĐH Khoa học, ĐH Thái Nguyên§ Cộng tác viên Viện Toán học 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/20193. Sử dụng Geogebra trong phân tích số nguyên tố rathừa số Một số chỉ chia hết cho 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố. Với những số lớn,thuật toán Euclid và các thuật toán hiện đại phân tích một số ra thừa số nguyên tố ở thờiđiểm hiện tại chưa thể cho kết quả trong thời gian thực. Vì vậy, việc phân tích một sốra thừa số nguyên tố vẫn còn là bài toán rất khó, ngay cả với những hệ thống máy tínhsong song cỡ lớn và các phần mềm chuyên dụng. Mặt khác, với phần mềm thương mạiMaple hoặc phần mềm free (miễn phí trên mạng) Geogebra, có thể phân tích được số tựnhiên với dưới 35 chữ số tương đối nhanh (chỉ trong vài giây). Điều này giúp các thày côgiáo có thể hướng dẫn học sinh Trung học Phổ thông, thậm chí học sinh Trung học Cơsở, tập dượt nghiên cứu với đề tài Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.Sau khi cài đặt, để phân tích một số ra thừa số nguyên tố nhờ Geogebra, ta mở Geogebra,chọnCAS (Computer Algebra System-hệ tính toán đại số). Sau đó chỉ cần khai báo duynhất một lệnh ifactor () với số cần phân tích được khai báo trong ngoặc, thí dụ, số dạng10n + 1, máy sẽ lập tức cho ra ngay kết quả như trong Bảng 1.Bảng 1 Phân tích các số dạng 100 . . . 001 với n = 2, . . . , 50 chữ số 0 ra thừa số nguyên tố. 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/20193 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Quan sát Bảng 1, ta rút ra quy luật sau: Khẳng định 1 Các số dạng Nn := 100 . . . 001 với n = 2k chữ số 0 chia hết cho 11.Nhận xét 0.1. Với k = 0 thì 11 là số nguyên tố.Chứng minh 1 Làm phép nhân trực tiếp ta được 1 00 . . 00} 1 = 9090 . . . 9091 × 11 | .{z 2kvới k − 1 cặp số 90.Chứng minh 2 Ta có 1 00 . . 00} 1 = 102k+1 + 1 | .{z 2k = (10 + 1) 102k − 102k−1 + 102k−2 − . . . . + 1 = 11. 102k − 102k−1 + 102k−2 − . . . . + 1 . 4 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Như vậy, câu hỏi của Giáo sư Lại Đức Thịnh đã được trả lời một nửa.Có thể thấy rõ hơn trong Phụ lục 1 dưới đây. Phụ lục 1 1001 = 103 +1 = 11 × 91; 100001 = 105 +1 = 11 × 9091; 10000001 = 107 +1 = 11 × 909091; 100000000 = 109 +1 = 11 × 90909091; 100000000001 = 1011 +1 = 11 × 9090909091; 10000000000001 = 1013 +1 = 11 × 909090909091; 1015 +1 = 11 × 90909090909091; 1017 +1 = 11 × 9090909090909091; 1019 +1 = 11 × 909090909090909091; 1021 +1 = 11 × 90909090909090909091; 1023 +1 = 11 × 9090909090909090909091; 1025 +1 = 11 × 9090909090909 ...