Phân tích và mở rộng trong các bài toán tổ hợp

Nghiên cứu thấy rằng tổ hợp cũng thế, bên cạnh các bài chứng minh đòi hỏi sử dụng các lập luận logic, các nguyên lý tổ hợp một cách bài bản thì vẫn có các bài định lượng như thế. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân tích và mở rộng trong các bài toán tổ hợpTạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán PHÂN TÍCH VÀ MỞ RỘNG TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Lê Phúc Lữ (Tp HCM) Tóm tắt Như chúng ta đều biết, các bài toán tổ hợp đòi hỏi tư duy nhiều, nhất là tư duy trừu tượng, sáng tạo không theo lối mòn. Trong phòng thi có thời gian ít, áp lực cao, ít có thí sinh nào dám mạo hiểm làm tổ hợp khi các câu đại số, giải tích (thường có mô hình sẵn) vẫn chưa xong. Tuy nhiên, nói đi thì cũng phải nói lại, tổ hợp cũng như hình học và số học, bên cạnh các nội dung định tính thì vẫn có các câu định lượng. Chẳng hạn như xét riêng trong chủ đề hình phẳng, nếu bạn nào học hình chưa tốt nhưng lại sử dụng tốt các công cụ phụ trợ như đại số, lượng giác, tọa độ, . . . vào bài toán thì chỉ cần một tí cố gắng nào đó để đưa bài toán định tính thuần túy về định lượng là coi như có thể tự tin xử lý được rất nhiều bài khó. Tuy nhiên, đó lại là một câu chuyện dài khác. Đi vào vấn đề chính, chúng ta có thể thấy rằng tổ hợp cũng thế, bên cạnh các bài chứng minh đòi hỏi sử dụng các lập luận logic, các nguyên lý tổ hợp một cách bài bản thì vẫn có các bài định lượng như thế. 1. Phân tích để tìm lời giải Trong phần này, chúng ta sẽ cùng xem xét một số bài toán liên quan đến cực trị rời rạc và thông qua các đánh giá với số nhỏ, trường hợp đặc biệt để cố gắng phát hiện ra quy luật rồi từ đó giải quyết được vấn đề. Chú ý rằng có một số bài chỉ nêu hướng xử lý chứ không đi sâu vào lời giải chi tiết. Bài toán 1. Trên một bàn tròn, có n > 3 người ngồi. Biết rằng trong số họ, ai cũng luôn nói dối hoặc luôn nói thật và ngay lúc 101 này, họ nói rằng: “Cả 2 người ngồi cạnh tôi đều là kẻ nói dối”. Hỏi trên bàn có nhiều nhất và ít nhất bao nhiêu người nói dối?Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán Lời giải. Đây là một bài mình phát triển từ một câu đố vui dành cho học sinh Tiểu học trong trường hợp n = 5 (hoàn toàn có thể thử các trường hợp nhỏ). Tất nhiên bài toán này không phải quá dễ dàng để nhìn vào là ra ngay, nhất là khi đòi hỏi phải xây dựng một cách bài bản. Chúng ta hãy thử với các trường hợp nhỏ để cố gắng tìm cách xử lý và có thể dễ dàng hình dung cách tiếp cận hơn. • Với n = 3 thì min = 2, max = 2. (Chú ý rằng phủ định của với mọi là tồn tại!) • Với n = 4 thì min = 2, max = 2. • Với n = 5 thì min = 3, max = 3. Các giá trị đầu thì lớn nhất và nhỏ nhất bằng nhau rồi, nhưng ...