Phát triển năng lực học sinh giỏi qua toán hình học

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên tiểu học - Phát triển năng lực học sinh giỏi qua toán hình học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phát triển năng lực học sinh giỏi qua toán hình học PHÁT TRI N NĂNG L C H C SINH GI I TI U H C QUA M T S BÀI TOÁN HÌNH H C ------------------------ I. Ch ng minh m t s ñ nh lí hình h c b ng ki n th c toán ti u h c. 1. Ch ng minh ñ nh lí ñư ng trung bình c a hình thang: Bài toán1: Cho hình thang ABCD (AB//CD); M,N l n lư t là ñi m gi a các c nh bên AD vàBC. Ch ng minh: a) AB + CD MN = 2 b) MN // AB và CD (trong toán ti u h c chưa s d ng kí hi u //) Hư ng ch ng minh: a) A B AB + CD MN = 2 M N H N i các ñi m như hình v : BI và CH là các E Iñư ng vuông góc k t B và C xu ng MN. D C S(BMN) = S(CMN) (chung ñư ng cao h t MN x ng BC; ñáy NB = ñáy NC). Suy ra BI = CH = 1/2 h ( S(BMN) = S(CMN), 2 tam giác chung ñáy MN- h là ñư ng cao hìnhthang ABCD). Khi n i AN và DN, ch ng minh tương t ta ñư c các ñư ng vuông góc h t A và D xu ngMN b ng nhau và cũng b ng 1/2 h.(I) S ( ABCD) = S ( BMC ) + S ( MAB) + S ( MCD ) (AB + CD) x h MN x h AB x h / 2 CD x h / 2 = + + (II) 2 2 2 2 (II) = (AB+CD) x h = MN x h + AB/2 x h + CD/2 x h AB + CD = h x ( MN + ) ( m t s nhân v i m t t ng) 2 AB + CD AB+CD = MN + ( chia c 2 v cho h) 2 AB + CD MN = (AB+CD) - ( tìm s h ng chưa bi t trong m t t ng) 2 AB + CD MN = 2 b) MN//AB (và CD) Khi n i AN và DN (theo I), ta có S(ANM) = S(DMN) (hai tam giác chung ñư ng cao h tN xu ng AD, ñáy AM = ñáy DM. Hai tam giác AMN và DMN có di n tích b ng nhau, chung ñáy MN nên có các ñư ngcao h t A và D xu ng MN b ng nhau và b ng 1/2 h) (III) T (III) và (a) ta có AE = BI và cùng vuông góc v i AB và MN. V y MN // AB và CD. 2. Ch ng minh tích ch t ba ñư ng trung tuy n c a tam giác. Bài toán 2: Cho tam giác ABC. M,N là ñi m gi a các c nh AC và BC. N i AN,BM c t nhaut i O. a) Ch ng minh ON = 1/2 OA; OM = 1/2 OB. b) N i CO kéo dài c t AB t i E, ch ng minh AE = BE; OE = 1/2 OC. Hư ng ch ng minh: a) ON = 1/2 OA; OM = 1/2 OB A S(ANC) = S(BMC) ( ñ u b ng 1/2S(ABC) - ddàng ch ng minh). E M S(ANC) và S(BMC) có S(MONC) chung, nên S(AOM) = S(BON). T ñây d dàng ch ng minh: O S(AOM) = S(MOC) = S(CON) = S(NOB) B C N Suy ra S(CON) = 1/2 S(AON); 2 tam giác cùng ñư ng cao h t C xu ng AN nên ñáy ON = 1/2ñáy OA. Ch ng minh tương t v i 2 tam giác COB và COM ta ñư c OM = 1/2 OB. b) EA = EB; OE = 1/2 OC. Theo ch ng minh trên, S(AOC) = S(BOC); 2 tam giác có chung ñáy OC nên ñư ng cao h t Avà B xu ng EC b ng nhau. Do ñó S(AEO) = S(BEO) ( chung ñáy EO, ñư ng cao b ng nhau). Hai tam giác có di n tíchb ng nhau, chung ñư ng cao h t O xu ng AB nên 2 ñáy b ng nhau: EA = EB. * Ch ng minh tương t câu a ta có OE = 1/2 OC. 3. Ch ng minh ñ nh lý Talet Bài toán 3: Cho tam giác ABC, trên AB l y các ñi m M,N sao cho AM = 1/2 AB; AN = 3/4AB. T M,N k các ñư ng song song v i BC l n lư t c t AC t i P và Q. Ch ng minh: AP = 1/2 AC; AQ = 3/4 AC. Hư ng ch ng minh: a) AP = 1/2 AC A N i BP, MC. S(AMP) = S(BMP) ( MA = MB, chung ñư ngcao h t P xu ng AB). (*) S(BMP) = S(CMP) (chung ñáy MP, ñư ng cao M Ph t B và C xu ng MP b ng nhau do MP N Qsong song v i BC). (**) T (*) và (**) ta có S(PMC) = S(PMA) B C 2 tam giác PMC và PMA có di n tích b ng nhau, chung ñư ng cao h t M xu ng AC nêncó ñáy b ng nhau: AP = PC AP ...