Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG

Giả sử chứng minh A(n)  k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k. Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n  6 với  n  z. Giải: Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp  n (n + 1) (n - 1)  6 và 12n  6 Vậy n3 + 11n  6
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀDẠNG TỔNGGiả sử chứng minh A(n)  k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tửvà chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k.Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n  6 với  n  z.Giải: Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp n (n + 1) (n - 1)  6 và 12n  6Vậy n3 + 11n  6Ví dụ 2: Cho a, b  z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b)  11CMR: (16a +17b) (17a +16b)  121Giải: Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b)  11 16a  17b 11 (1) 17a  16b 11Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b)  11 (2) 16a  17b 11Từ (1) và (2)   17a  16b 11Vậy (16a +17b) (17a +16b)  121Ví dụ 3: Tìm n  N sao cho P = (n + 5)(n + 6)  6n.Giải : Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30Vì 12n  6n nên để P  6n  n2 - n + 30  6n n2 - n  6 n(n - 1)  3 (1)   30  6n 30  n (2)Từ (1)  n = 3k hoặc n = 3k + 1 (k  N)Từ (2)  n  {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}Vậy từ (1); (2)  n  {1; 3; 6; 10; 15; 30}Thay các giá trị của n vào P ta cón  {1; 3; 10; 30} là thoả mãnVậy n  {1; 3; 10; 15; 30} thì P = (n + 5)(n + 6)  6n. BÀI TẬP TƯƠNG TỰBài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73  23Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24  24Bài 3: CMR: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1  59 b. 9 2n + 14  5Bài 4: Tìm n  N sao cho n3 - 8n2 + 2n  n2 + 1 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐBài 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N  23Bài 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ  n(3n + 5) 2  ĐPCMBài 3: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 = 5n(25 + 26) + 8 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m  59 b. 9 2n + 14 = 9 2n - 1 + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15  5Bài 4: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + 8  (n2 + 1)  n + 8  n2 + 1Nếu n + 8 = 0  n = -8 (thoả mãn)Nếu n + 8  0  n + 8 n2 + 1 n  8  -n 2  1 Víi n  8 n 2  n  9  0 Víi n  8  2 2 n  8  n  1 Víi n  8 n  n  7  0 Víi n  8   n  {-2; 0; 2} thử lại. Vậy n  {-8; 0; 2}