Phương pháp chia miền giải bài toán biên với điểm biên kì dị

Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một số phương pháp tiếp cận giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh dựa trên cơ sở phương pháp chia miền đồng thời đưa ra các kết quả cụ thể khi áp dụng các phương pháp để giải bài toán Motz, một bài toán mẫu được thế giới quan tâm. Các kết quả được trình bày cả về lý thuyết và thực nghiệm khẳng định tính đúng đắn của các phương pháp đã đưa ra.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp chia miền giải bài toán biên với điểm biên kì dị PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN VỚI ĐIỂM BIÊN KỲ DỊ Vũ Vinh Quang* – Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên Ngô Thị Kim Quy – Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh Thái Nguyên TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một số phương pháp tiếp cận giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh dựa trên cơ sở phương pháp chia miền đồng thời đưa ra các kết quả cụ thể khi áp dụng các phương pháp để giải bài toán Motz, một bài toán mẫu được thế giới quan tâm. Các kết quả được trình bày cả về lý thuyết và thực nghiệm khẳng định tính đúng đắn của các phương pháp đã đưa ra. Từ khóa: phương pháp chia miền, sơ đồ lặp, bài toán Motz, bài toán biên hỗn hợp mạnh, điểm kì dị. 1. Cơ sở của phương pháp 2 Cho   R là miền Lipschitz , xét bài toán: với u(x )  f (x ), x  ,    lu(x )  g(x ), x  .  biên Giả sử miền  được mô tả bởi Hình 1, xét bài toán u(x )  f (x ), x  ,   u(x )  (x ), x  n ,     u(x )  (x ) x   n .  (1) (2) 1 Giả thiết f (x )  L2 (), g(x )  H 2 () . Ta xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên lu ( x)  g ( x) là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet ( l là toán tử hàm) và Neumann (l là toán tử đạo hàm hướng). Khi đó điểm giao giữa hai loại điều kiện biên được gọi là điểm kì dị. Đây là bài toán đã được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm như Saito, Fuijtu, Funaro, Quarteroni,... Để giải quyết bài toán trên, có nhiều phương pháp đã được đưa ra của các tác giả trên thế giới, một trong các phương pháp đó là sử dụng phương pháp khai triển các hàm cơ sở xung quanh lân cận điểm kì dị từ đó xác định nghiệm bằng chuỗi hàm xấp xỉ qua các hàm cơ sở. Các hệ số của chuỗi được xác định thông qua điều kiện cực trị của một phiếm hàm. Các kết quả trên đã được đưa ra trong [2, 3, 5]. Trong phần này, khác với các phương pháp của các tác giả trên thế giới, chúng tôi sẽ áp dụng phương pháp chia miền để xử lý bài toán biên hỗn hợp mạnh. Nhờ phương pháp này bài toán được dẫn về dãy các bài toán biên hỗn hợp yếu để giải. Hình 1 Bài toán được gọi là bài toán biên hỗn hợp mạnh khi trên đoạn biên trơn d  n gồm cả hai loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann. Chia miền   1  2, 1  2   bởi biên ui  u i    1   2 . (i  1,2) là Kí hiệu nghiệm, 1   1 d  , 2   2 n   . Để giải được hai bài toán trong 2 miền con, điều quan trọng nhất là cần xác định được giá trị điều kiện biên trên đường phân chia giữa 2 miền. Có hai cách tiếp cận: 1. Cách tiếp cận thứ nhất là xác định giá trị hàm trên biên phân chia dựa trên một sơ đồ 136Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lặp. Cách tiếp cận này đã được các tác giả Nhật Bản [4] phát triển vào năm 2001. 2. Cách tiếp cận thứ hai là xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia dựa trên một sơ đồ lặp. Cách tiếp cận này đã được các tác giả Việt Nam [1] phát triển năm 2006. Phương pháp này đã được đánh giá có tốc độ hội tụ nhanh hơn. Sau đây chúng tôi giới thiệu cả 2 cách tiếp cận.  Thuật toán 1.1. Đặt g  u2  . Khi đó giá trị của g sẽ được xác định bằng sơ đồ lặp sau đây: Bước 1: Cho trước g (0)  L2 () . Bước 2: Với g giải hai bài toán. (k )  u2(k )(x )  f (x ),   (k )  u2 (x )  (x ),  (k )  u2 (x )  g (k )(x ),   (k )  u2 (x )  (x ),  v 2   u (x )  f (x ), 1   u (x ) u (x )  1 2  ,   1  2  x  u1 (x )  (x ), Hiệu chỉnh: x  2 u (x )  f (x ), x  1, 1   u (x )  1 (6)  g (k )(x ), x  ,  1  x  1  d .  u1(x )  (x ), u 2(k )(x )  f (x ), x  2,   (k )  (x ) x  2,  u 2 (x )  (k )  u 2 (x )  u1(k )(x ), x  ,   (k )  u2 (x )  (x ), x   . n  v 2  Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị g (k 1) g (k 1)(x )  (1   )g (k )(x )   trên  tiến hành 2. Mô hình bài toán Motz (3) x  , x  n . Bài toán Motz là một bài toán Laplace chuẩn, nó thường được sử dụng để kiểm tra các phương pháp số với các bài toán biên với điều kiện biên kì dị. Chúng ta xét bài toán Motz với hệ điều kiện biên được biểu hiện trong Hình 2. x  1, x  , (4)  1  d . Tương tự như trong [4] ta có thể chứng minh sơ đồ (5) là hội tụ, tham số lựa chọn 0    1 . u(x )  0,   (x , y ) -1  x  1,0  y  1,  u(x )  0, OD (9)  u(x )  500,  AB   u ( x )   n OABC CD  0.  y  Thuật toán 1.2. 1 , x  . (8) Trong tài liệu [1] đã chứng minh sơ đồ lặp (8) hội tụ với tham số  : 0    1 . g (k 1) (x )   g (k )(x )  (1   )u1(k )(x ), x  . (5) Đặt g  v2 trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn. x  2, u1 u2(k )(x ) (7) 1 C u 0 n B . Khi đó giá trị của  g được xác định bởi sơ đồ lặp sau đây: Bước 1: Cho trước g (0) 2  L () . u 0 n (k ) Bước 2: Với g trên  (k  0, 1, 2,..... ...