Phương pháp chiếu xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu

Bài viết đề xuất một thuật toán chiếu mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong một không gian Hilbert thực, ở đây ánh xạ giá liên tục Lipschitz và tựa đơn điệu (không cần thiết đơn điệu). Thuật toán và phân tích sự hội tụ yếu của dãy lặp được chỉ ra chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp chiếu xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu PHƯƠNG PHÁP CHIẾU XẤP XỈ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TỰA ĐƠN ĐIỆU Đỗ Duy Thành Khoa Toán&KHTN Email: thanhdd@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 16/3/2021 Ngày BP đánh giá: 23/4/2021 Ngày duyệt đăng: 29/4/2021 TÓM TẮT: Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất một thuật toán chiếu mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong một không gian Hilbert thực, ở đây ánh xạ giá liên tục Lipschitz và tựa đơn điệu (không cần thiết đơn điệu). Thuật toán và phân tích sự hội tụ yếu của dãy lặp được chỉ ra chi tiết. Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân, phương pháp chiếu, tựa đơn điệu, liên tục Lipschitz. APPROXIMATION PROJECTION METHODS FOR QUASIMONOTONE VARIATIONAL INEQUALITIES ABSTRACT: In this paper, we propose a new projection algorithm for variational inequalities in a real Hilbert space, with the assumptions of Lipschitz-continuity and quasimonotone of the cost ( without monotone). We obtain a weak convergence theorem for the sequences generated by these processes. Key words: variational inequality, projection method, quasimonotone, Lipschitz continuous ...1. GIỚI THIỆU của bài toán VI (C , A) . Bất đẳng thức biến phân được Để giải bài toán VI (C , A) với giả thiếtKinderlehrer và Stampacchia đưa ra lần tập con C ⊆  n là tập lồi, đóng, khácđầu tiên vào năm 1980 khi nghiên cứu về rỗng, A đơn điệu, liên tục Lipschitz vớibài toán biên tự do. Từ đó, rất nhiều mô hằng số L , Korpelevich trong [6] đã giớihình toán xuất phát từ ứng dụng toán, lý thiệu phương pháp đạo hàm tăng cường:thuyết trò chơi, mô hình cân bằng kinh tế,cân bằng giao thông và vật lý toán, được x0 ∈C  kviết dưới dạng của bài toán bất đẳng thức =y PC ( x k − λ A( x k )),biến phân. Cho C là một tập con lồi đóng  k +1 x = PC ( x k − λ A( y k )),khác rỗng của một không gian Hilbert thực  1 H , A là một ánh xạ từ H vào H . Bài toán Với mọi k ≥ 0, trong đó λ ∈  0,  .bất đẳng thức biến phân, viết tắt VI (C , A)  L,là tìm một điểm x* ∈ C sao cho { }{ } Tác giả đã chỉ ra rằng dãy x k , y k hội A( x*), x − x * ≥ 0 ∀x ∈ C. tụ đến cùng một điểm z ∈ Sol(C , A). Tuy Ký hiệu Sol(C , A) để chỉ tập nghiệm nhiên điều kiện liên tục Lipschitz là một TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 33 điều kiện khá mạnh. Do đó, một kỹ thuật khỏi tập nghiệm của bài toán VI (C , A) . khá hay để tránh điều này đó là sử dụng Solodov và Svaiter trong [8] đã sử dụng phương pháp tìm kiếm theo tia dọc theo hai phép chiếu, trong đó x k +1 là hình chiếu hướng y k − x k để thu được điểm zk qua của x k lên trên một siêu phẳng. Thuật toán việc xây dựng một siêu phẳng tách x k ra được mô tả như sau:   x 0 ∈ C , λ > 0, ρ ∈ (0,1), k = 0,  k y = PC ( x k − λ A( x k )), vaø tìm soá nguyeân khoâng aâm nhoû nhaát ik sao cho  σ k k 2 i k i k k k= i ik , A( ρ y + (1 − ρ ) x ), x − y ≥ x −y .  λ Tính x k= +1 i i PC  H ( x k ), trong ñoù z= k ρ k y k + (1 − ρ k ) x k vaø  k  { n k  H k = x ∈  : A( x ), x − z =0 . k } Với các giả thiết của tham số λ , ρ ,σ và ánh xạ A , dãy x k { } hội tụ về nghiệm của bài toán VI (C , A) . Dựa trên k ...