PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM CỰC TRỊ

tài liệu hữu ích dành cho các bạn tham khảo để nâng cao củng cố kiến thức để chuẩn bi cho các kì thi sắp tới ....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM CỰC TRỊ www.VNMATH.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM CỰC TRỊ (tt) NGUYỂN ANH KHOA THPT Lê Khiết, Thành phố Quảng Ngãi Email:anhkhoa_lk12@yahoo.com Nick name: anhkhoa_lk12 I.Phương pháp đánh giá tổng các phân thức: Phương pháp này người ta còn gọi là phương pháp xét biểu thức phụ.Sau đây là bài toán tiêu biểu cho phương pháp trên. Bài toán 1: Cho a,b,c,d dương. CMR a b c 3 + + ≥ ( BĐT Nesbit với n=3) 1. b+c c+a a+b 2 a b c d + + + ≥ 2 ( BĐT Nesbit với n=4) 2. b+c c+d d +a a +b GIẢI Ý tưởng để giải bài toán này ta xét các biểu thức phụ có tính hoán vị. a b c 3 b c a c a b + + ≥ ;B = + + ;C = + + 1. Đặt A= b+c a +c a+b 2 b+c c+a a+b b+c c+a a+b Khi đó ta có được B+C=3. Mặt khác a +b b+c a+c A+ B = + + ≥3 b+c a+c a+b a+c b+a b+c A+C = + + ≥3 b+c c+a b+a 3 Do đó 2 A + B + C ≥ 6 ⇒ A ≥ ( đpcm) 2 a b c d b c d a c d a b 2. Đặt A = + + + ;B = + + + ;C = + + + b+c c+d d +a a+b b+c c+d d +a a+b b+c c+d d +a a +b Khi đó B+C=4. Lại có a +b b+c c+d d +a A+ B = + + + ≥4 b+c c+d d +a a +b a+c b+d c+a b+d 4(a + c) 4(b + d ) A+C = + + + ≥ + =4 b+c c+d d +a a +b a+b+c+d a+b+c+d Do đó 2 A + B + C ≥ 8 ⇒ A ≥ 2 ( đpcm) LB: Cách giải như trên khá hay, nhưng cách giải đó chỉ mới xuất hiện mà thôi . Hầu như các sách về BĐT hiện nay điều sử dụng cách giải này. Bài toán 2: Cho a,b,c dương. CMR a+b+c a2 b2 c2 + + ≥ 1. a +b b+c c+a 2PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com www.VNMATH.com ) ( a2 b2 c2 2 + + ≥ a 2 + b2 + b2 + c 2 + c2 + a2 2. a +b b+c c+a 4 GIẢI a2 b2 c2 b2 c2 a2 1. Đặt P = + + ;Q = + + . Khi đó ta có a+b b+c c+a a+b b+c c+a a 2 − b2 b2 − c2 c 2 − a 2 P −Q = + + = a −b +b−c + c − a = 0 a+b b+c c+a P+Q Do đó P = Q = . BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau 2 1  a 2 + b2 b2 + c 2 c2 + a 2  a + b + c + + ≥  2 a +b b+c c+a  2 a 2 + b2 a + b Ta sử dụng BĐT phụ 2 ( a + b ) ≥ ( a + b ) ⇔ ≥ 2 2 2 a+b 2 Tương tự ta xây dựng các BĐT còn lại, sau đó cộng lại ta được đpcm. 2. Cũng như câu 1 ta chuyển BĐT cần chứng minh về dạng ( ) 1  a 2 + b2 b2 + c 2 c2 + a2  2 + + ≥ a 2 + b2 + b2 + c 2 + c 2 + a 2  2 a +b b+c c+a  4 Ta sử dụng BĐT phụ sau: x + y ...