Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Tham khảo tài liệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp chứng minh bất đẳng thức ---NGUYỄN ANH CƯỜNG ---A. Lời giới thiệuMột lần nữa tôi lại có dịp gặp lại các bạn với một phương pháp chứng minh bất đẳng thức mới. Nếu nhưphương pháp chính phương hoá đã khơi dậy trong ta bao nhiêu sự thích thú và thỏa thuê khi hàng trăm bàibất đẳng thức khó đã ngã rạp trước sức mạnh của nó thì tôi tin chắc các bạn sẽ còn hạnh phúc hơn vớiphương pháp này. Các bạn có thể tin được không, khi trước đây chúng ta phải cực khổ lấy giấy nháp ra vàbiến đối thì bây giờ chúng ta sẽ có thể giải bài toán chỉ với cái lướt nhìn đầu tiên. Nào chúng ta hãy cùngnhau thưởng thức viên kim cương này sẽ cắt bánh chưng ra sao nhé J.B. Phương pháp ABCTôi xin mở đầu phương pháp này bằng việc xét một số bài toán sau:Bài 1:Cho ab + bc + ca = 1 và [ ] [ 3,+∞]. Tìm điều kiện của abc sao cho a, b, c là các số thực.i) a + b + c = m, m ∈ − ∞,− 3 ∪ [ ]ii) a + b + c ∈ 3 ,+∞ , a, b, c ≥ 0 . Tìm điều kiện abc sao cho a, b, c là các số thực không âm. Giải:Chúng ta đã có hai đại lượng trung bình của a, b, c . Sự xuất hiện của abc khiến chúng ta liên tưởng tới địnhlý Viete, vì vậy ta nghĩ tới việc xét phương trình; X 3 − mX 2 + X − abc = 0(*)Yêu cầu của đề bài tương đương với việc, tìm điều kiện của abc đểi) Phương trình (*) có ba nghiệm thực.ii) Phương trình (*) có ba nghiệm không âm.Đặt f ( X ) = X 3 − mX 2 + X − abcTa có: f ( X ) = 3 X 2 − 2mX + 1 .Phương trình có hai nghiệm m + m2 − 3 m − m2 − 3X1 = ;X2 = 3 3 −∞ +∞ X X2 X1 f (X ) + 0 - 0 + f (X )Phương trình có ba nghiệm khi và chỉ khi f ( X 2 ) ≥ 0 , f ( X 1 ) ≤ 0 ( ) (6 + 2 m 2 ) X 2 − m 6 + 2m 2 X 1 − m ≤ abc ≤Từ đây suy ra: (1) 9 9Đây cũng chính là đáp số của câu i).Câu ii) , nhận xét rằng để a, b, c là các số thực dương thì ngoài việc phải thoả mãn (1) , abc còn chịu thêmràng buột 0 ≤ abc , và ngược lại với (1), abc ≥ 0, a + b + c ≥ 0, ab + bc + ca ≥ 0 thì a, b, c ≥ 0 . Vậy nên đápsố sẽ là: ( )  (6 + 2 m 2 ) X 2 − m  6 + 2m 2 X 1 − m  ≤ abc ≤max 0, (2)   9 9Như vậy là ta đã hoàn thành hai câu hỏi được nêu ra của bài toán. --------------------------------------------------------------------------------------Bài tóan trên giúp ta rút ra hai nhận xét sau:Nhận xét i) Ø Điều kiện cần và đủ để tồn tại các số thực a, b, c khi đã biết trước các giá trị ab + bc + ca = 1 và ( ) [ ][ ] (6 + 2 m 2 ) X 2 − m 6 + 2m 2 X 1 − m a + b + c = m, m ∈ − ∞,− 3 ∪ 3 ,+∞ là ≤ abc ≤ . 9 9 Ø Điều kiện cần và đủ để tồn tại các số thực không âm a, b, c khi đã biết trước các giá trị ( ) [ 3,+∞] là max0, (6 + 2m 9) X − m 6 + 2m 2 X 1 − m 2 ab + bc + ca = 1 và a + b + c ∈ ≤ abc ≤   2 .   9 o Nhận xét 1 được suy ta trực tiếp từ bài toán đã nêu, chú ý rằng tại sao a + b + c lại bị ràng buộc chạy trong các đoạn như trên. Có hai cách giải thích sau: • (a + b + c ) ≥ 3(ab + bc + ca) = 3 2 • f ( X ) = 3 X 2 − 2mX + 1 buộc phải không hoàn toàn dương, hay nói cách khác là phương trình f ( X ) = 0 ...