Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân tách

Trong bài viết này, dựa trên ý tưởng của phương pháp dưới đạo hàm tăng cường được đề xuất bởi Censor và các cộng sự. Bài viết đề xuất một phương pháp mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân tách PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH Hồ Phi Tứ Khoa Toán - Khoa học tự nhiên Email: tuhp@dhhp.edu.vnNgày nhận bài: 10/8/2020Ngày PB đánh giá: 24/8/2020Ngày duyệt đăng: 31/8/2020TÓM TẮT.Trong bài báo này, dựa trên ý tưởng của phương pháp dưới đạo hàm tăng cường đượcđề xuất bới Censor và các cộng sự ([xem 2]), chúng tôi đề xuất một phương pháp mớiđể giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân tách. Bài toán này còn được gọi là bài toán bất đẳng thức biếnphân tách hai cấp. Đồng thời, chúng tôi cũng chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãylặp tới nghiệm duy nhất của bài toán trên không gian Hilbert thực. Từ khóa. Bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân tách, giả đơn điệu,hội tụ yếu, hội tụ mạnh, L-liên tục Lipschitz,   đơn điệu mạnh. A SUBGRADIENT EXTRAGRADIENT METHOD FOR SOLVINGVARIATIONAL INEQUALITY PROBLEM ON SOLUTION SET OF SPLIT VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEMABSTRACTIn this paper, by basing on the ideas of sub-gradient extra-gradient method presentedby Censor and his associates ([see 2]), we propose a new method for solvingvariational inequality problem on the constraint set which is the solution of theproblem of integral variance inequality. This problem is also known as the two-levelsplit variable inequality problem. Simultaneously, we also prove the strongconvergence of the repeating sequence to the unique solution of the problem on realHilbert space.Key words. Variational inequality problem, split variational inequality problempseudo-monotone, weak convergence, strong convergence, L-Lipschitz continuous,  strong monotone. TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 81I. GIỚI THIỆU Cho  là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng á⋅, ⋅ñ và chuẩn || ||, C làmột tập con lồi đóng khác rỗng của  và PC là phép chiếu lên tập C . Ta kí hiệux k  x (tương ứng x k  x ) là sự hội tụ mạnh (yếu) của dãy {x k } tới x . Xét bài toán bất đẳng thức biến phân VIP (W, G) : Cho C và Q lần lượt là cáctập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực 1 và 2 . Giả sử A : 1  2là một toán tử tuyến tính bị chặn. Xét các ánh xạ F1 : 1  1 và F2 : 2  2 . Tìm x* Î W sao cho G ( x* ) , x - x* ³ 0 x Î W, (1.1) trong đó G : 1  1 và W = { x* Î Sol (C , F1 ) : A( x* ) Î Sol (Q, F2 )} là tập nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân tách. Để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu và liên tục LipschitzVIP (C , G ) , Korpelevich đã đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường ([xem 4]). Tuynhiên, phương pháp này đòi hỏi hai phép chiếu lên tập ràng buộc C nên ảnh hưởng đếnsự hiệu quả của thuật toán. Năm 2001, Censor cùng cộng sự đã đề xuất thay phép chiếulần thứ hai lên C bằng phép chiếu lên nửa không gian chứa C ([xem 2]). Phương phápnày gọi là phương pháp dưới đạo hàm tăng cường và được mô tả tóm tắt như sau: Xuất phát từ điểm x 0 Î 1 , với mọi k ³ 0, ta xác định ìï y k = P = ( x k - t G ( x k )) , ïï C ïï íTk = {w Î  : x - t G ( x ) - y , w - y £ 0} , k k k k ïï ïï x k +1 = P ( x k - t G ( y k )) , ïî Tk Khi đó nếu G :    là đơn điệu trên C , L - liên tục Lipschitz trên  và æ 1öt Î çç0, ÷÷÷ thì cả hai dãy lặp { x k } và { y k } hội tụ yếu đến nghiệm x* của bài toán bất è Løđẳng thức biến phân VIP (C, G ). Trong bài báo này, trên ý tưởng phương pháp dưới đạo hàm tăng cường củaCensor và các cộng sự, chúng tôi đề xuất một thuật toán mới để giải bài toán bất đẳngthức biến phân (1.1). Giả sử các ánh xạ G, F1 : 1  1 , F2 : 2  2 thỏa mãn đồng thời các điềukiện sau: ( B1 ) : G : 1  1 là b - đơn điệu mạnh và L - liên tục Lipschitz trên 1.82 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020 ( B2 ) : F1 : 1  1 là giả đơn điệu và L1 - liên tục Lipschitz trên 1. ( B3 ) : limsup F1 ( x k ) , y - y k £ F1 ( x) , y - y với mọi dãy k ¥{ x } Ì 1 , { y } Ì 1 hội tụ yếu lần lượt đến x và y. k k ( B4 ) : F2 : 2  2 là giả đơn điệu và L2 - liên tục Lipschitz trên 2 . ( B5 ) : limsup F2 (u k ) , v - v k £ F2 (u) , v - v với mọi dãy k ¥{u } Ì 2 , {v } Ì 2 hội tụ yếu lần lượt đến u và v. k k Định nghĩa 1.1. Cho 1 và 2 là hai không gian Hilbert và A : 1  2 là toán tửtuyến tính bị chặn. Toán tử tuyến tính A* : 2  1 thỏa mãn A( x) , y = x, A* ( y) với mọi x Î 1 và y Î 2 , được gọi là toán tử liên hợp của A. Toán tử liên hợp của một toán tử tuyến tính bị chặn luôn tồn tại duy nhất, A* là toántử tuyến tính bị chặn và ta có A* = A .II. THUẬT TOÁN VÀ KẾT QUẢ HỘI TỤ CỦA THUẬT TOÁN Thuật toán 2.1. Chọn các dãy số {ak } Ì (0,1) , {hk } , {dk } , {lk } , {mk } thỏa mãnđồng thời các điều kiện ìï ¥ ïï lim ak = 0, å ak = ¥, 0 £ hk £ 1- ak k ³ 0, lim hk = h < 1, {dk } Ì [ a; b ]; ïïí k ¥ k =0 k ¥ æ 1 ÷ö æ 1ö æ 1ö ïïa, b Î çç0; ...