Phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ của một bài toàn biên đối với phương trình song điều hòa

Trong bài báo này chúng tôi chúng tôi trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa trong [2] nhờ việc sử dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev mà sự hội tụ của sơ đồ lặp này về nghiệm gốc của bài toán ban đầu được đánh giá qua tính chất hoàn toàn liên tục của một toán tử biên xác định trên không gian Sobolev H S (∂Ω), s≥0. Phần cuối là một số thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm kiểm chứng về sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh về mặt lí thuyết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ của một bài toàn biên đối với phương trình song điều hòa Phí Hùng Cường Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 81(05): 79 - 83 PHƯƠNG PHÁP GIẢI LẶP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA Lê Tùng Sơn* Trường ĐH Sư phạm - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Trong bài báo này chúng tôi chúng tôi trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa trong [2] nhờ việc sử dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev mà sự hội tụ của sơ đồ lặp này về nghiệm gốc của bài toán ban đầu được đánh giá qua tính chất hoàn toàn liên tục của một toán tử biên xác định trên không gian Sobolev HS(∂Ω), s≥0. Phần cuối là một số thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm kiểm chứng về sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh về mặt lí thuyết. Keywords: BVP: Boundary Value Problem GIỚI THIỆU* Trong [2], chúng tôi đưa ra công thức nghiệm giải tích cho một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa mô tả dao động của bản mỏng với điều kiện biên ngàm đàn hồi trên miền Ω là một hình tròn. Đó là bài toán biên đối với phương trình song điều hòa trong đó Ω chỉ là miền giới nội trong R2 có biên ∂Ω đủ trơn, ∆ là toán tử Laplace, µ là tham số không âm, q-1 là một hàm số dương, n là véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ. Sử dụng phương pháp tọa độ cực, với x, x là hai điểm tùy ý thuộc Ω \ Γ có tọa độ cực tương ứng là ( r ,ϕ ), ( r ,ϕ ) . s, s là hai điểm tùy ý thuộc biên Γ có tọa độ cực tương ứng là ( R,ψ ), ( R,ψ ) . ns , ns lần lượt là các véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ tại các điểm s, s . Khi đó nghiệm gốc u của bài toán trên được cho bởi công thức: u ( x) = − ∫ G ( x, x )v( x )dx , Ω G(x, s) v0 (s)dΓs ∂ n s Ω v(x) = −∫ G(x, x) f (x)dx − ∫ Ω * Tel: 0280 3856 894; Email: letungson.dhsptn@gmail.com G ( x, x ) là hàm Green được của toán tử Laplace ∆ G ( x, x ) = 1 ln 2π R2 + r 2 (r )2 R 2 − 2 rrc os(ϕ − ϕ ) r 2 − ( r ) 2 − 2 rrc os(ϕ − ϕ ) Hơn nữa, chúng tôi còn chứng minh được với f ∈ H s −3/2 (Ω) thì v0 ∈ H s (Γ) và do đó, u ∈ H s +5/2 (Ω) . Trong đó, H s −3/2 (Ω), H s (Γ), H s +5/2 (Ω) là các không gian Sobolev, s ≥ 0. Dưới đây, chúng tôi giới thiệu một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán trên. Có thể tóm tắt như sau: sau khi phân rã bài toán gốc cấp bốn đối với phương trình song điều hòa về dãy các bài toán biên cấp hai đối với phương trình elliptic, xuất hiện thêm một ẩn hàm biên v0 , ẩn hàm biên này được đưa vào một phương trình toán tử có dạng Av0 = f. Một trong những phương pháp số tìm v0 là giải lặp phương trình Av0 = f bằng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev giới thiệu trong [6]. Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ về nghiệm gốc của phương trình toán tử trên chủ yếu được đánh giá qua hai định lí: định lí 1 trong [1] của Đặng Quang Á và định lí 1 trong [6] của Samarski – Nikolaev. Phần cuối của bài báo, chúng tôi đưa ra một số kết quả thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm kiểm tra sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh về mặt lí thuyết. 85 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lê Tùng Sơn Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Trong quá trình tìm nghiệm giải tích của bài toán (1.1) – (1.3), việc tìm ra dãy các hàm riêng của toán tử là một cơ sở trực chuẩn của không gian H0(Ω) = L2(Ω) đóng vai trò then chốt. Sẽ rất khó khăn nếu Ω⊂Rn, n>2. Mặt khác, trong quá trình tính toán, đòi hỏi các tích phân đều phải được tính tường minh. Điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được. Các lí do trên cho thấy, việc tìm nghiệm giải tích chỉ mang tính khả thi cho một lớp khá hẹp các bài toán biên đối với phương trình song điều hòa. Chúng tôi hi vọng phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (1.1) – (1.3) mà chúng tôi trình bày dưới đây phần nào khắc phục được những khó khăn nói trên. Mặt khác, nghiệm xấp xỉ tìm được có đánh giá sai số đủ nhỏ với nghiệm gốc sẽ mang ý nghĩa thực tiễn khi sử dụng. GIẢI BÀI TOÁN (1.1)-(1.3) 1. Đưa bài toán (1.1) – (1.3) về phương trình toán tử biên Đặt ∆u = v và kí hiệu v = v0 , từ bài toán Γ (1.1) – (1.3) ta được dãy các bài toán sau x ∈ Ω, ∆v = f ,   v = v0 , x ∈ Γ = ∂Ω, x ∈ Ω, ∆u = v,   u = 0, x ∈ Γ = ∂Ω. (1.4) và (1.5) (1.4) và (1.5) là các bài toán biên đối với phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet, theo [4], với f ∈H s− 3 2 (Ω), v0 ∈ H s (Γ), s ≥ 0 thì (1.4) có duy nhất nghiệm v∈H (Ω) do đó, (1.5) có duy nhất nghiệm U∈HS+5/2(Ω). Ẩn hàm biên v0 được xác định phải thỏa mãn điều kiện: khi thay v0 vào (1.4), giải liên tiếp hai bài toán (1.4), (1.5), ta được nghiệm u của bài toán (1.1) – (1.3). Trước hết, ta định nghĩa một toán tử biên B được xác định bởi công thức: S+1/2 ∂u Bv0 = , (1.6) ∂n Γ 81(05): 85 - 89 trong đó, v và u lần lượt là nghiệm của các bài toán:  ∆v = 0,  v = v0 , x ∈ Ω, x ∈ Γ, (1.7)  ∆u = v, x ∈ Ω,  x ∈ Γ. u = 0, và (1.8) Sử dụng điều kiện (1.3) trong bài toán gốc, kết hợp với (1.6), ta có phương trình µ ...