Phương pháp hàm số với bài toán phương trình chứa tham số

Tài liệu tham khảo về Phương pháp hàm số với bài toán phương trình chứa tham số...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp hàm số với bài toán phương trình chứa tham sốCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐTrong đề thi đại học những năm gần đây phần nhiều các bài tập câu 4b về phương trình , hệ phươngtrình có sử dụng phương pháp hàm số . Sau đây tôi xin giới thiệu một vài kĩ năng sử dụng phươngpháp đóTa thường gặp một số dạng toán sau:*Sử dụng tính đơn điệu đưa 2 dạng cơ bản là f(x)=g(m) và f(x)=f(y) với f(t) là hàm đơn điệu.*Sử dụng việc khảo sát sự biến biến thiên để tìm điều kiện có nghiệm hoặc biện luận số nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình.Trong quá trình làm 2 dạng trên nhiều trường hợp ta phải đánh giá dấu của đạo hàm dựa vào phươngpháp hàm số hoặc sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc : Côsi , Bunhiacopxki,..Bài1 . Chứng minh rằng với mọi m>0 phương trình sau luôn có nghiệm  x 2 + mx + 2  ÷ = 2x − x 2 + mx + 2 − 1 log 2  (1)  ÷ 2x − 1  GiảiVì x 2 + mx + 2 ≥ 0 nên  x 2 + mx + 2 > 0 1 (*) do m>0 nên (*) ⇔ x >ĐKXĐ:   2x − 1 > 0 2 ( 1) ⇔ log 2 x 2 + mx + 2 + x 2 + mx + 2 = log 2 ( 2x − 1) + 2x − 1 (2)Xét hàm số : f ( x ) = log 2 t + t; t ∈ ( 0; +∞ ) 1 + 1 > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) do đó hàm số f(x) đồng biến trên ( 0; +∞ ) f ( x ) = t ln 2 x 2 + mx + 2 > 0; 2x − 1 > 0 nên phương trình (2) ⇔ x 2 + mx + 2 = 2x − 1 (3) mà 1 1Với x > thì ( 3) ⇔ x + mx + 2 = 4x − 4x + 1 ⇔ m = 3x − 4 − 2 2 (4) 2 x 1  1  1Xét hàm số : g(x)= 3x − 4 − ; x ∈  ; +∞ ÷, g’(x)>0 , ∀x ∈  ; +∞ ÷ 2  2  x 1Từ Bảng biến thiên suy phương trình (4) luôn có nghiệm x > , ∀m > 0 điều này cũng có nghĩa là 2phương trình (1) có nghiệm.*Nhận xét : Cách làm chính của dạng bài này chính là +Đưa phương trình ( hệ phương trình ) về dạng f(x)=f(y) , x,y thuộc D và hàm f(t) đơn điệutrên DCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 +Phần còn lại là sử dụng bảng biến thiên của hàm g(x) để biện luận số nghiệm.Bài 2. Tìm a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt x 6 + 3x 5 − 6x 4 − ax 3 − 6x 2 + 3x + 1 = 0 (1).GiảiVì x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho x3 ta được :  3 1  2 1  1  x + 3 ÷+ 3  x + 2 ÷− 6  x + ÷ = a  x  x  x 1Đặt t = x + thì x2 –tx+1=0 , để tồn tại x thì ∆ = t − 4 ≥ 0 ⇔ t ≥ 2 2 xPhương trình trở thành : t3 + 3t2 -9t = a + 6 (2)  t = −2Để ý rằng với  phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm x , còn với mỗi t mà |t| >2 cho tương ứng t = 2 với 2 giá trị của x.Do đó , (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm t = ±2 hoặc có đúng 1 nghiệm t sao cho |t| >2 2 = a + 6*TH1 : (2) có 2 nghiệm t = ±2 ⇔  không thoả mãn. 22 = a + 6*TH2 : (2) có đúng 1 nghiệm t sao cho |t| >2 Xét hàm số y=t3 +3t2 -9t với t ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) t = 1 y’ = 3t 2 + 6t − 9 = 0 ⇔   t = −3 BBT t -∞ -3 -2 1 2 +∞ y’ + 0 - 0 + +∞ 27 y 22 2 -∞ a + 6 > 27 a > 21Từ BBT ta có 2) có đúng 1 nghiệm t sao cho |t| >2 ⇔  ⇔ . a + 6 < 2 a < −4 ...