Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn giải bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều

Bài viết sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều, phương pháp này đã được giới thiệu trong các sách giáo khoa về Cơ học lượng tử. Thông qua sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh-Schrödinger, đã thu được kết quả số với độ chính xác cao, đến 4 chữ số thập phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn giải bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Nguyễn Phương Duy Anh1 1. Viện Phát Triển Ứng Dụng, Trường Đại học Thủ Dầu MộtTÓM TẮT Các bài toán chuyển động trong thế giới vi mô được mô tả bới phương trình Schrödinger,một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phức tạp, chỉ có thể giải chính xác trong một sốtrường hợp đơn giản. Trong công trình này chúng tôi sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giảiphương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều, phương pháp nàyđã được giới thiệu trong các sách giáo khoa về Cơ học lượng tử. Thông qua sơ đồ lý thuyếtnhiễu loạn Rayleigh-Schrödinger, chúng tôi đã thu được kết quả số với độ chính xác cao, đến4 chữ số thập phân. Các kết quả thu được hoàn toàn trùng khớp với các kết quả của các côngtrình khác (Rosner 1984; Thirumalai 2009). Qua phân tích kết quả chúng tôi nhận thấy phươngpháp lý thuyết nhiễu loạn cho kết quả tốt trong vùng từ trường yếu, với cường độ   0.4 (từtrường không thứ nguyên), còn trong vùng từ trường mạnh thì không còn đúng nữa. Nguyênnhân của vấn đề này đó là do khi từ trường biến đổi trong vùng từ trường mạnh   0.4 thìthành phần tách ra không đủ nhỏ để coi là “nhiễu loạn”, vì vậy trong công trình tiếp theo chúngtôi tiếp tục phát triển phương pháp lý thuyết nhiễu loạn nhằm khắc phục những hạn chế khitính toán trong vùng từ trường có giá trị lớn. Từ khóa: lý thuyết nhiễu loạn, nguyên tử hydro, từ trường đều1. MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, tất cả các bài toán chuyển động trong thế giới vi mô đều dẫn đến việcgiải phương trình Schrödinger. Đây là một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phức tạp mànghiệm chính xác của nó chỉ có thể xác định được trong một số trường hợp đơn giản với thế năngđã được lý tưởng hóa (nguyên tử hydro, bài toán dao động tử đều hòa, chuyển động trong hố thếvuông góc...). Do đó, đối với các bài toán liên quan đến hệ lượng tử thực, người ta phải dùng cácphương pháp tính gần đúng để tìm hàm riêng, trị riêng của nó. Phương pháp nhiễu loạn là mộttrong những phương pháp tính gần đúng rất quan trọng của Cơ lượng tử, tính hiệu quả của nó đãđược kiểm chứng nhiều năm (Đặng Quang Khang 2006; Hoàng Dũng 1999). Bên cạnh những ưuđiểm thì phương pháp này cũng bộc lộ một số hạn chế như tính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn vàmiền ứng dụng của phương pháp này. Trong công trình này chúng tôi sẽ sử dụng lý thuyết nhiễuloạn để giải bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều, là một trong số các bài toán có thể giảiđược nghiệm số chính xác (Rosner 1984; Thirumalai 2009), dùng kết quả số thu được so sánh vớicác công trình (Rosner 1984; Thirumalai 2009) để tìm được vùng làm việc hiệu quả của phươngpháp lý thuyế nhiễu loạn. Có nhiều sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn khác nhau nhưng về cơ bản nó chỉthay đổi tốc độ hội tụ một ít chứ không giải quyết được vấn đề mở rộng miền sử dụng, trong phầnnày chúng tôi trình bày sơ đồ Rayleigh- Schrödinger là sơ đồ thông dụng nhất, được trình bàytrong phần lớn sách giáo khoa về cơ học lượng tử (Đặng Quang Khang 2006; Hoàng Dũng 1999).Sơ đồ này cũng sẽ được sử dụng để giải bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều. 2502. SƠ ĐỒ RAYLEIGH- SCHRÖDINGER CHO PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN DỪNG Xét phương trình Schrödinger dừng: ˆ H ( x) = E( x). (1) Giả sử ta có thể tách toán tử Hamiltonian của bài toán thành hai thành phần như sau: ˆ ˆ ˆ H = H 0 + V , (2) ˆtrong đó thành phần H 0 là toán tử Hamiltonian có nghiệm riêng chính xác ˆ H 0 n =  n n , (3) ˆthành phần V còn lại gọi là thế nhiễu loạn. Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành ˆ ˆ ˆ ˆphần nhiễu loạn V phải “nhỏ” so với H 0 : V  H 0 . Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để coi thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tínhtoán giải tích qua các số mũ của  , trong kết quả cuối cùng khi tính số ta có thể cho  = 1 .Khi đó nghiệm của phương trình (3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1) còn nghiệm với ˆgần đúng bậc cao sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của V thông qua các bổ chínhnăng lượng và hàm sóng. ˆ Ta giả thuyết rằng các trị riêng của H là không suy biến và có phổ ...