PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n N ta không thể thử trựctiếp với mọi số tự nhiên được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn. Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như sau Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0 Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k 0 bất kì suy ra nó đúng với n=k+1 .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠPPHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n N ta không thể thử trựctiếp với mọi số tự nhiên được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn. Song ta cóthể tiến hành các bước kiểm tra như sau Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0 Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tựnhiên n=k 0 bất kì suy ra nó đúng với n=k+1 .Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có đẳng thức : an-bn =(a-b)(an-1 +an-2b +…..+ bn-1) Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp . * Khi n=2 ta có a2 -b2=(a-b)(a+b) là đúng * Giả sử đẳng thức đúng khi n=k . Tức là ta có : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak-2 b +…..+ bk-1)Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 . Tức là C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b+…..+ bk) . Thật vậy ta có : VT = ak+1 - bk+1 = ak+1 -akb + akb -bk+1 = ak(a-b)+ b(ak -bk) = ak(a-b) + b(a-b)(ak-1 +ak-2b +…..+ bk-1) = (a-b)[ ak + b(ak-1 +ak-2b +…..+ bk-1)] = (a-b)(ak +ak-1b+…..+ bk) = VPVậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức đúng với mọi n 2Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n 1 ta có đẳng thức : n(n  1)1+2+3+4…………+ n = 2 N* ta có : 12 + 2 2 + 3 2 + 42 + 5 2Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n n(n  1)(2n  )+……+n2 =  N biểu thức Un=13n -1 chia hết 6.Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n 3 ta có 2n > 2n+1Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2n  2Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 4.3  32n  36  64Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 ta luôn có:(n+1)(n+2)…(2n)  1.3.5…(2n-1)Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: n3+2n  3 nBài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: 16  15n  1 225 A. CHIA HẾT SỐ NGUYÊN 1. Định nghĩa: Cho hai số nguyên bất kì a và b (b  0). Tồn tại một và 0r  b chỉ một cặp số nguyên (q, r) sao cho a = bq + r với . a  b  a = kb a, b, k  * Nếu r = 0 thì a chia hết cho b: * Nếu r  0 phép chia a cho b là có dư 2. Tính chất của qua hệ chia hết: aa a  b và b  a thì a = b a  b và b  c thì a  c thì ka  m và ak  m a m a  m, b  m thì a  b  m a  b  m mà a  m thì b  m a  m, b  n thì ab  nm a  m thì an  mn an  m, m nguyên tố thì a  m a  m, a  n mà (n, m) = 1 thì a  mn a  m, a  n, a  k; n, m, k nguyên tố sánh đôi thì a  mnka  m, b  m thì a  b  m* Trong n số nguyên liên tiếp (n N*) có một và chỉ một số chia hết cho n.* Trong n+1 số nguyên bất kì (n N*) chia cho n thì có hai số chia cho n cócùng số dư.* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số nguyên tố p ta có thể xét mọi trườnghợp về số dư của n chia cho p.* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcácthưac số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hếtcho từng thừa số đó.* Để CM f(x) chia hết cho m thông thường ta phân tích f(x) thành nhân tửrồi xét số dư khi chia x cho m.PHƯƠNG PHÁP GIẢI :1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5 n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5 b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia hết cho5=> A(n) chia hết cho 5 c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia hết cho5=> A(n) chia hết cho 5 d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia hết cho5=> A(n) chia hết cho 5 e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia hết cho5=> A(n) chia hết cho 52/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q=> A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n)  m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n.4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n)  m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức : an – bn  a – b ( a  b) n bất kỳ. ...