Phương pháp sai phân và ứng dụng đối với bài toán biên tự do

Bài viết "Phương pháp sai phân và ứng dụng đối với bài toán biên tự do" có nội dung chính là phân tích bài toán biên tự do một chiều, cách làm và phương pháp giải toán nhanh nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp sai phân và ứng dụng đối với bài toán biên tự doT¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNGĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN TỰ DONguyễn Đình Dũng- Trần Mạnh Tuấn (Khoa Công nghệ Thông tin - ĐH Thái Nguyên)Phạm Minh ChuNn (Khoa Công nghệ thông tin – Đại học SPKT Hưng Yên)1. Bài toán biên tự do một chiều1.1. Giới thiệu bài toánXét bài toán biên tự do (FBP1)Tìm hàm u ( x, t ) thoả mãn0 < x < s (t ); 0 < t ≤ Tu t = u xx0 ≤t ≤Tu (0, t ) = f (t )0 ≤t ≤Tu ( s(t ), t ) = 0u ( x,0) = ϕ ( x)0 < x ≤ b, ϕ (b) = 0, b > 0 ds = −u x ( s (t ), t ) 0 < t ≤ T dts (0) = b(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)Để bài toán có thể giải (1.1)-(1.4) cần bổ xung thêm điều kiện cho trên biên tự do, diềukiện này còn được gọi là điều kiện Stefan (1.5)-(1.6). Áp dụng kết quả của Cannon-Hill [6] điềukiện cho trên biên tự do có thể biến đổi về dạng sau:S (t )[ s (t )]2 = F (t ) − 2 ∫ ξ u (ξ , t ) dξ0≤t ≤T0tb00F (t ) = b 2 + 2 ∫ f (τ )dτ + 2 ∫ ξ ϕ (ξ ) dξ1.2. Phương pháp PenaltyViệc giải bài toán FBP1 được thực hiện bằng phương pháp sai phân, để giảm khối lượngtính toán, trước hết ta xấp xỉ bài toán FBP1 bởi bài toán FBP2:Tìm hàm u ( x, t ) thoả mãnu t = u xx − Kλ ( x, t )u0 < x < l, 0 < t ≤ Tu (0, t ) = f (t )u (l , t ) = 00 ≤t ≤T0≤t ≤Tϕ ( x)u ( x,0) = 00≤ x≤b(1.7)(1.8)(1.9)(1.10)b< x≤l01λ ( x, t ) = 0 ≤ x ≤ s(t )0≤t ≤Ts(t ) < x ≤ l0≤t ≤T(1.11)l[s(t )]2 = F (t ) − 2∫ ξ u (ξ , t )dξ0≤t ≤T(1.12)0Trong đó K là hằng số dương, l được chọn sao cho l >F (t ) .75T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 20081.3. Phương pháp sai phân penalty1.3.1. Bài toán sai phânGọi D = {0 ≤ x ≤ l; 0 ≤ t ≤ T} là miền giới hạn tìm nghiệm, Sử dụng phương pháp saiphân ta phủ miền D bằng lưới sai phân:G = {(m, n) : x m = mh; t n = nk , m = 0,1, ..., M ; n = 0,1,.., N }(1.13)Trong đó h, k lần lượt là bước lưới không gian và thời gian: h = l / M ; k = T / NĐặt u ( xm , tn ) ≈ vm, n khi đó bài toán FBP2 được xấp xỉ bởi bài toán sai phân FBP3:Tìm v m ,n thoả mãn hệ:v m ,n +1 − v m, nv 0, Nk= fnv M ,n = 0=v m −1,n − 2v m, n + v m +1, nh20≤n≤ N− Kλ m , n v m , n1≤ m ≤ M; 0 ≤ n ≤ N(1.15)0≤n≤ Nϕv m,0 =  m0(1.14)(1.16)1 ≤ m ≤ [b / h](1.17)0 0, 0 ≤ ϕ ( x) ≤ D(b − x) ∀x ∈ [0, b]iv. b > 012Từ những giả thiết trên ta suy ra các định lý sau:v. 0 < γ ≤Định lý 1: Nếu các hàm f , ϕ thoả mãn giả thiết A và K =(thì u m( j,)n , s n( j ))1trong đó σ ≥ 0 và 0 < h < 1 / Bkhội tụ đều tới nghiệm duy nhất của bài toán FBP3 khi j → ∞ .Định lý 2: Nếu các hàm f , ϕ thoả mãn giả thiết A và K =1+σ1trong đó σ ≥ 0 thì nghiệm củakbài toán FBP3 hôi tụ đều tới nghiệm của bài toán FBP1 khi h → 0 .1.3.3. Phương pháp sai phân nTrong mục này chúng tôi trình bày lược đồ sai phân Nn xấp xỉ bài toán vi phân FBP2.1+σTìm hàm v m ,n thỏa mãn hệ sau:v m , n − v m, n −1v 0,nk= fnv M ,n = 0ϕv m, 0 =  m0λ m,n=v m −1, n − 2v m, n + v m +1, nh20≤n≤ N− Kλ m , n v m , n0≤n≤ N1 ≤ m ≤ [b / h][b / h] < m ≤ M01 ≤ m ≤ mn − 1, 0 ≤ n ≤ N 1− ρ n=m = mn , 0 ≤ n ≤ N1 + ρ n kK1mn + 1 ≤ m ≤ M , 0 ≤ n ≤ N1 ≤ m ≤ M − 1, 1 ≤ n ≤ N(1.20)(1.21)(1.22)(1.23)(1.24)77T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008Đối với điều kiện biên:M −122S=F−2hmv m, n[]∑nnm =1n −1 [b / h]ϕ [b / h ] [b / h ]−1 F = b 2 + 2k  f 0 + f n +f i  + 2h 2 + ∑ mϕ m ∑n2i =1m =1 21≤ n ≤ N(1.25)3. Một số kết quả thực nghiệmỞ trong phần này chúng tôi đưa ra một số kết quả tính toán giải bài toán. Bằng lược đồsai phân (1.43)-(1.48) sau khi tính toán thu được kết quả sau:f (t ) = sin t cos t ; ϕ ( x) = cos πx ; b = 0.5; l = 1; T = 1; K = 1010k = h = 10 2r ( i ) = max n =1, 2,..., N {s n(i ) − s n(i −1) }r(i)123450.09380.01580.00370.00143.2107e-004Hình 2: Đồ thị biên tự do sau 5 lần lặpHình 3: Đồ thị nghiệm v m ,n sau 5 lần lặpTóm tắtMô hình bài toán biên tự do đối với phương trình truyền nhiệt nảy sinh khi có sự thayđổi pha, bài toán thường xuất hiện trong vật lý, cơ học. Chẳng hạn sự đông đặc của kim loại, sựkhuyếch tán của chất khí,… Để tìm lời giải, chúng tôi thiết lập công thức, thuật toán và cài đặtthuật toán cho kết quả nghiệm số gần đúng của bài toán.SummaryDIFFERENCE METHOD AND APPLICATION FOR FREE BOUNDARY PROBLEMSFree boundary problems for a heat equation are developed in changing phases, theseproblems usually appear in physical phenomenon and mechanics. The examples of metallicfreeze, diffusion of air…To solve these problems, we establish formulas and algorithm in orderto conclude solutions of the problem.78T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008Tài liệu tham khảo[1] A. CAFFARELLI, “The regularity of free boundaries in higher dimensions”, Acta Math. 139 (1977),155–184.[2] A.M. Meirmanov, “The Stefan Problem”, de Gruyter Expositions in Mathematics 3, 1992[3] A. Visintin, “Models of Phase Transitions”, Birkhäuser-Boston, Series: Progress in NonlinearDifferential Equations, Vol. 28, 1996[4] A.Friedman, ”Free boundery problem for parabolic equations”, I. Melting of solids, J.Math andMech, 8(1959), 499-516[5] H. Kawarada, “Stefan-type free boundary problems for heat equations”, RIM.S kyoto university,1974, 543-575.[6] J.R.Cannon and C.D.Hill, “Existence, uiqueness, stability, and monotone dependence in a stefanproblem for heat equation”, J.Math. Mech. 17(1967), 1-20.[7] J.L. Lions, “Introduction to some aspects of free surfaces problems, numerical solution of partialdifferential equation – III”, Academic press, 1976.[8] M. Premond, “Lecture in computational methods in non-linear mechanics”, The university of texasat austin, Austin, Texas september 1974.79 ...