Phương pháp số giải một số bài toán biên trong miền vô hạn

Lý thuyết về các bài toán biên trong miền vô hạn là một trong những lĩnh vực quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Rất nhiều bài toán cơ học và vật lý được đặt ra trong miền vô hạn như bài toán truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn, trong một dải vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển bao la... Để giải quyết được bài toán trên, người ta thường hạn chế xét bài toán trong miền hữu hạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp số giải một số bài toán biên trong miền vô hạn26 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TRONG MIỀN VÔ HẠN Ngô Thúy Ngân Trường Đại học Đại học Thủ đô Hà Nội Tóm tắt: Lý thuyết về các bài toán biên trong miền vô hạn là một trong những lĩnh vực quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Rất nhiều bài toán cơ học và vật lý được đặt ra trong miền vô hạn như bài toán truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn, trong một dải vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển bao la... Để giải quyết được bài toán trên, người ta thường hạn chế xét bài toán trong miền hữu hạn. Khi đó một loạt vấn đề được đặt ra là xét miền rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện biên trên biên ảo như thế nào để thu được nghiệm xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền vô hạn. Vì vậy, việc tìm hiểu và nghiên cứu bài toán biên trong miền vô hạn là hết sức quan trọng. Đặc biệt, ở trong nước, đây là lĩnh vực còn tương đối mới mẻ, hầu như chưa có các tài liệu đề cập một cách đầy đủ vấn đề này. Từ khóa: Bài toán biên, miền vô hạn. Nhậnbàingày7.11.2017;gửiphảnbiện,chỉnhsửavàduyệtđăngngày20.12.2017 Liênhệtácgiả:NgôThúyNgân;Email:ntngan@daihocthudo.edu.vn1. MỞ ĐẦU Trongbàibáonàytaquantâmđếnhailoạibàitoán:Bàitoánbiênvàbàitoáncótrịbanđầu.Mỗiloạibàitoánsẽcócáchgiảiriêng. Đểtrìnhbàynhữngkháiniệmcơbảncủaphươngphápsaiphân,trướchếttaxétmộtsốbàitoánđơngiảnđốivớiphươngtrìnhviphânthường. Tiếpđó,mụcđíchcủabàibáođềxuấtmộtphươngpháphệvôhạnđốivớicácbàitoándừng,phươngtrìnhparabolictrongthanhnửavôhạnvàcáchcàiđặtcủacácthuậttoánđó.2. NỘI DUNG2.1. Phương pháp sai phân giải bài toán có trị ban đầu2.1.1. Mô hình bài toán Chokhoảng[x0,X].Tìmhàmu=u(x)xácđịnhtại[x0,X]vàthỏamãn: TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 20/2017 27 u ,  f ( x, u ) x0  x  X (2.1) u( x0 )   (2.2) Trongđóf(x,u)làmộthàmsốchotrướcvà  làmộtsốchotrước. Giảsửbàitoán(2.1),(2.2)cónghiệmu=u(x)đủtrơn,nghĩalànócóđạohàmliêntụcđếncấpmàtacần.2.1.2. Lưới sai phân Tachiađoạn[x0,X]thànhNđoạnconbằngnhau,mỗiđoạncondài h  (b  a ) / N bởicácđiểm xi  x0  ih, i  0,1,.., N (hình1).Tậpcácđiểmxigọilàmộtlướisaiphântrên[x0,X]kýhiệulà  h, mỗiđiểmxigọilàmộtnútcủalưới,hgọilàbướcđicủalưới. x x x xN=X 0 1 x2 xi xi+1 Hình 1. Lưới sai phân Tasẽtìmcáchtínhgầnđúnggiátrịcủanghiệmu(x)tạicácnútxicủalưới  h, . Đólàýtưởngđầutiêncủaphươngphápsaiphân,còngọilàphươngpháplưới.2.1.3. Hàm lưới Đólànhữnghàmsốxácđịnhtạicácnútcủalưới  h, .Giátrịcủahàmlướivtạinútxiviếtlàvi.Mộthàmsốu(x)xácđịnhtạimọix[a,b]sẽtạorahàmlướiucógiátrịtạinútxilàui=u(xi).2.1.4. Đạo hàm lưới Xéthàmsốv.Đạohàmlướitiếncấpmộtcủav,kýhiệulàvx,cógiátrịtạinútxilà: vi 1  vi vxi  h Đạohàmlướilùicấpmộtcủav,kýhiệu vx ,cógiátrịtạinútxilà vi  vi 1 vxi  h Khihbéthìđạohàmlưới“xấpxỉ”đượcđạohàmthường.28 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI2.2. Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt một chiều2.2.1. Mô hình bài toá ...