Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến phi tuyến

Đề tài nghiên cứu điều kiện tồn tại và không tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến mạnh nửa tuyến tính trong miền bị chặn có biên trơn và sự tồn tại nghiệm, nghiệm toàn cục, tập hút toàn cục của bài toán biên giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic có toán tử elliptic suy biến phi tuyến. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến phi tuyến Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán học, Họcviện Khoa học và Công nghệ, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH.Nguyễn Minh Trí. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túccủa thầy trong suốt quá trình thực hiện đề tài đã giúp tác giả trưởngthành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Học viện, Phòng Đàotạo Sau đại học, Khoa Toán học và các thầy giáo, cô giáo của ViệnToán học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốtquá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020 Tác giả Hà Đức Thái 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng dẫncủa GS. TSKH. Nguyễn Minh Trí. Trong quá trình nghiên cứu vàhoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trongluận văn là trung thực và đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020 Tác giả Hà Đức Thái 2 Bảng kí hiệuN Tập số tự nhiênR Tập số thựcC Tập số phức∅ Tập rỗngC0∞(Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn giá compact Kết thúc chứng minh 3Mục lụcLời cảm ơn 1Lời cam đoan 2Bảng kí hiệu 3Lời mở đầu 61 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Không gian Lp và các bất đẳng thức . . . . . . . . 8 p 1.2 Không gian S1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa toán tử Grushin . 122 Tính nhiều nghiệm của bài toán biên elliptic suy biến 20 2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Chứng minh định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4Tài liệu tham khảo 50 5 Lời mở đầu Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cứuđầu tiên trong các công trình của J. D’Alembert (1717 - 1783), L.Euler (1707 - 1783), D. Bernoulli (1700 - 1782), J. Lagrange (1736 -1813), P. Laplace (1749 - 1827), S. Poisson (1781 - 1840) và J. Fourier(1768 - 1830), như là một công cụ chính để mô tả cơ học cũng nhưmô hình giải tích của Vật lí. Vào giữa thế kỷ XIX với sự xuất hiệncác công trình của Riemann, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàmriêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toánhọc. Cuối thế kỷ XIX, H. Poincaré đã chỉ ra mối quan hệ biện chứnggiữa lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toánhọc khác. Sang thế kỷ XX, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàmriêng phát triển vô cùng mạnh mẽ nhờ có công cụ giải tích hàm, đặcbiệt là từ khi xuất hiện lí thuyết hàm suy rộng do S. L. Sobolev vàL. Schwartz xây dựng. Nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình elliptic tổngquát đã đóng vai trò rất quan trọng trong lí thuyết phương trìnhvi phân. Hiện nay các kết quả theo hướng này đã tương đối hoànchỉnh. Cùng với sự phát triển không ngừng của toán học cũng nhưkhoa học kỹ thuật nhiều bài toán liên quan tới độ trơn của nghiệmcác phương trình và hệ phương trình không elliptic đã xuất hiện.Có một số lớp phương trình, trong đó có lớp phương trình ellipticsuy biến, ở một khía cạnh nào đó cũng có một số tính chất giốngvới phương trình elliptic. Tuy nhiên các kết quả đạt được cho cácphương trình phi tuyến elliptic vẫn còn ít, chưa đầy đủ. Với các lído nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của ...