Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger

Bài viết giới thiệu quy trình giải bài bằng phương pháp toán tử FK và sử dụng phương pháp này để giải bài toán nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản, là bài toán đã tìm được nghiệm số chính xác cho trạng thái cơ bản là -0.5 (ở đơn vị không thứ nguyên), nhằm mục đích minh hoạ cho việc sử dụng phương pháp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp toán tử FK giải phương trình SchrödingerPHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER Nguyễn Phương Duy Anh 1 1. Viện Phát Triển Ứng Dụng, Trường Đại Học Thủ Dầu MộtTÓM TẮT Phương pháp toán tử FK (FK operator, FK-OM) được đề xuất vào năm 1982 và đượcphát triển bởi các giáo sư ở trường đại học Belarus. Phương pháp này đã được phát triển rộngrãi cho các bài toán polaron, bipolaron, tương tác chùm điện tử - cấu trúc tinh thể (vật lý chấtrắn), tương tác hệ boson (lý thuyết trường), .... Phương pháp toán tử FK với các ưu điểm như:đơn giản hóa tính toán ma trận phức tạp (chỉ sử dụng phép biến đổi đại số), có thể tự động hóabằng phần mềm Mathematica, Matlab; có thể giải được phương trình Schrödinger cho hệ lượngtử với trường ngoài bất kỳ (hệ phi nhiễu loạn). Trong công trình này, chúng tôi giới thiệu quytrình giải bài bằng phương pháp toán tử FK và sử dụng phương pháp này để giải bài toánnguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản, là bài toán đã tìm được nghiệm số chính xác cho trạngthái cơ bản là -0.5 (ở đơn vị không thứ nguyên), nhằm mục đích minh hoạ cho việc sử dụngphương pháp. Chúng tôi đã thu được nghiệm chính xác bằng phương pháp toán tử FK (sử dụngsơ đồ vòng lặp) có độ chính xác đến 5 chữ số thập phân, sai số dưới 1% so với nghiệm số chínhxác cho trạng thái cơ bản là -0.5. Ngoài ra, chúng tôi cũng so sánh với nghiệm gần đúng bằngphương pháp lý thuyết nhiễu loạn và khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán thông qua tham số tựdo  và tìm được vùng giá trị 3.1    4.6 là vùng tối ưu cho kết quả hội tụ nhanh nhất. Kếtquả cho thấy FK-OM là phương pháp hiệu quả để giải phương trình Schrödinger cho bài toánnguyên tử hydro, có tiềm năng ứng dụng cho các bài toán phức tạp khác như bài toán excitonhai chiều, heli hai chiều, exciton trong đơn lớp TMD, …. Từ khóa: phương pháp toán tử FK, phương trình Schrödinger, nguyên tử hydro1. MỞ ĐẦU Những ý tưởng về phương pháp toán tử FK (viết tắt là FK-OM) đã xuất hiện vào nhữngnăm 1979. Tuy nhiên, FK-OM được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sưở trường đại học Belarus (Arteca 1986; Fernandez 1982; Feranchuk 1982; Feranchuk 1995;Feranchuk 2004) và được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như cácpolaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinhthể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường (Feranchuk2004). Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman,Wistchel và nhiều tác giả khác (Feranchuk 2004; Van Hoang 2004; Van Hoang 2005; Nguyen2019). Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử đã chứngtỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau: Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông thường phải tính tích phâncác hàm đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phépbiến đổi đại số. Và vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tínhtoán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán; 240 Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ bất kì, nghĩa là xácđịnh giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài (hệphi nhiễu loạn). Trong công trình này chúng tôi chỉ ra rằng FK-OM có thể sử dụng hiệu quả để giải phươngtrình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro và nhận được nghiệm năng lượng bằng số. Kếtquả có thể tính đến bổ chính bất kì và hội tụ đến giá trị với độ chính xác cho trước nên ta gọi lànghiệm chính xác bằng số. Đây là một bước kiểm tra hiệu quả của việc ứng dụng FK-OM vàobài toán nguyên tử hydro. Do bài toán nguyên tử hydro có nghiệm chính xác (López 2008) nênta dễ dàng so sánh và đánh giá phương pháp để sau đó ứng dụng vào các bài toán khác khôngcó nghiệm chính xác như bài toán nguyên tử hydro trong từ trường (Nguyễn Phương Duy Anh2010). Ngoài ra qua ví dụ cụ thể này chúng tôi còn khảo sát vai trò của tham số tự do trong việccải thiện tốc độ hội tụ của chuổi bổ chính trong phương pháp toán tử, chỉ ra miền tối ưu để chọntham số đó.2. CÁC BƯỚC GIẢI CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger qua bốn bước cơ bản sau: Bước 1: Biểu diễn Hamiltonian dưới dạng các toán tử sinh, hủy: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H ( x, p x ) → H ( a , a + ) (1)với  1   1  a( ) = ˆ ˆ ˆ ˆ+  x + ipx  ; a ( ) =  x − ipx  ...