Phương trình bậc ba

Trong toán học, một phương trình bậc ba(tiếng Anh: cubic equation) (một ẩn) là một phương trình đại số mà lũy thừa bậc cao nhất của ẩn là bậc ba. Chẳng hạn như phương trình sau: 2x3 − 4x2 + 3x − 4 = 0 và dạng tổng quát của nó là: α3x3 + α2x2 + α1x + α0 = 0. Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số α0, ..., α3 là các số thực. Tuy nhiên đa số lý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong một trường có đặc số (?) khác 3....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình bậc ba Phương trình bậc ba Đồ thị của hàm bậc ba :Trong toán học, một phương trình bậc ba(tiếng Anh: cubic equation) (một ẩn) là mộtphương trình đại số mà lũy thừa bậc cao nhất của ẩn là bậc ba. Chẳng hạn như phươngtrình sau: 2x3 − 4x2 + 3x − 4 = 0và dạng tổng quát của nó là: α3x3 + α2x2 + α1x + α0 = 0.Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số α0, ..., α3 là các số thực. Tuy nhiên đa sốlý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong một trường có đặc số (?) khác 3. Ta luôn giảsử rằng α3 khác không.Có thể giải được một phương trình bậc ba bằng căn thức.(Bài này chỉ bàn về phương trình bậc ba của một biến. Về phường trình bậc ba của haibiến, xem đường cong elliptic.)Lịch sửPhương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Ấn độ cổ Jaina khoảnggiữa năm 400 TCN và 200 CN.Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám (1048–1123) đã công bố việc giải phương trình bậcba nhờ giao của một thiết diện co-nic với đường tròn. Ông công bố rằng lời giải hình họcnày có thể dùng để cho các lời giải số nhờ các bảng lượng giác.Sau này vào thế kỷ 16, nhà toán học Italian Scipione del Ferro (1465-1526) tìm ra cáchgiải một lớp các phương trình bậc ba dạng x3 + mx = n. Thực ra, mọi phương trình bậc bacó thể đưa về dạng này. Tuy nhiên có thể dẫn đến căn bậc hai của những số âm, điều đólúc này chưa giải quyết được. Del Ferro giữ kín điều này cho đến trước khi ông chết mớinói cho học trò ông là sinh viên Antonio Fiore về nó.Vào 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tiếp nhận hai bài toán trong phương trình bậcba từ Zuanne da Coi và công bố ông đã giải được chúng. Ông nhận lời thách thức củaFiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi vã giữa hai người. Mỗi người hàng ngày đặt một số tiềnvà đưa ra một số bài toán cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong 30 ngàythì nhận tất cả số tiền.Tartaglia khi giải quyết các vấn đề trong dạng x3 + mx = n, đã đề xuất một phương pháptổng quát hơn. Fiore giải quyết các vấn đề trong dạng x3 + mx2 = n, khó hơn và Tartagliađã thắng cuộc.Sau này, Tartaglia được Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết phục tiết lộ bí mật củacách giải phương trình bậc ba. Tartaglia đã đặt điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộnó. Ít năm sau, Cardano hiểu được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bốphương pháp Tartaglia trong cuốn sách của ông nhan đề Ars Magna (1545) với lời cangợi dành cho Tartaglia. Việc này đẫn đến cuộc tranh cãi giữa Tartaglia và Cardano, sauđó kéo theo cả học trò của ông là Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari đã thắngTartaglia trong tranh luận, còn Tartaglia mất cả uy tín và tiền tài.Cardano đã chứng tỏ rằng phương pháp của Tartaglia trong một số trường hợp dẫn đếncăn bậc hai của số âm. Ông đã đưa ra phương pháp tính toán với các số này (số phức)trong Ars Magna, nhưng ông đã không hiểu hết. Rafael Bombelli nghiên cứu chi tiết hơnvà có nhiều đóng góp cho việc khám phá các số phức.Với trường hợp ∆ (DELTA) âm, người ta hay dùng phương pháp lượng giác để giải quyếtnó, tuy vậy, đây là phương pháp không đại số và nghiệm tính ra vẫn là gần đúng do phảisử dụng các hàm số cosin và arccosin. Và công thức đại số cho nghiệm tổng quát vẫnchưa thể hoàn thiện. ( Công thức đại số nghiệm tổng quát là công thức tìm ra nghiệm củaphương trình tổng quát mà chỉ dùng hữu hạn lần 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-),nhân (×), chia (:), lũy thừa (^) và khai căn (√) ).Phương pháp CardanoNghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipionedel Ferro và Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.Trước tiên, chia phương trình cho α3 để đưa về dạngĐặt x = t - a/3 và biến đổi ta có phương trình t3 + pt + q = 0, trong đó vàNó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.Ta sẽ tìm các số u và v sao cho u3 − v3 = q vàmột nghiệm của nó tìm được từ việc đặtcó thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhịthứcHệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v, ta cóThay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta cóPhương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u3. Khi giải, ta tìm đươcVì t = v − u và t = x + a/3, ta tìm đượcChú ý rằng, có sáu giá trị u tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu ( ), vàmỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với ).Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia chokhông. Thứ nhất, nếu p = 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e.. Thứ hai, nếu p = q = 0, thì ta có x = −a/3.Phương pháp tổng hợp và lượng giác cho mọi trườnghợpĐây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0(a <> 0)Đặt các giá trị:Δ = b2 − 3ac (Δ < > 0)1) Nếu Δ > 0 1.1) |k| ≤ 1: Phương trình có ba nghiệm 1.2) |k| > 1: Phương trình có một nghiệm duy nhất2) Nếu Δ = 0 : Phương trình có một nghiệm bội3) Nếu Δ < 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất ...