PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Tài liệu tham khảo học tập môn toán phần chương trình bậc 4, dành cho học sinh hệ trung học phổ thông.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0)I. Những dạng đặc biệt1/ Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình trở về dạng bậc hai2/ (x + a)4 + (x + b)4 = cĐặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)4 + (t - m)4 = c, khai triển sẽ được pt trùng phương3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) với a + b = c + dpt ↔ [x2 + (a + b)x + ab].[x2 + (c + d)x + cd] = mĐặt t = x2 + (a + b)x = x2 + (c + d)x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)Phương trình trở về dạng bậc hai4/ ax4 + bx3 + cx2 ± kbx + k2a = 0 (a ≠ 0)- Xét x = 0 có phải nghiệm pt không- Với x ≠ 0 : Chia 2 vế pt cho x2pt ↔ a (x2 + k2/x2) + b(x ± k/x) + c = 0Đặt t = x ± k/x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)5/ a[f2(x) + 1/f2(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0Đặt t = f(x) ± 1/f(x) (tổng quát hơn so với dạng phương trình 4)6/ a.f2(x) + b.f(x).g(x) + c.g2(x) = 0 (a ≠ 0)- Với g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0- Với g(x) ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho g2(x)- Đặt t = f(x)/g(x), pt trở về dạng bậc hai theo t7/ x = f(f(x))pt ↔ hệ đối xứng loại 2 : t = f(x) và x = f(t)* Chú ý : Nếu trong phương trình có chứa tham số, trong vài trường hợp ta có thể đổivai trò của ẩn và tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a theo x rồi suy ra x theoa)II. Phương trình bậc bốn tổng quát X4 + AX3 + BX2 + CX + D = 0 (công thức Ferrari)- Đặt X = x - A/4, phương trình trở về dạng khuyết bậc ba : x4 = ax2 + bx + c - Cộng 2 vế pt cho 2mx2 + m2 (m thuộc R), ta được : (x2 + m2)2 = (2m + a)x2 + bx + c + m2 - Xét vế phải pt, ta sẽ chọn m sao cho vế phải là bình phương một nhị thức bằng cách : ΔVP = b2 - 4(2m + a)(c + m2) : pt bậc ba theo m → luôn có nghiệm thực - Khi đó pt có dạng : (x2 + m2)2 = f2(x) PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)Chú ý :- Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực- Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1, x2,x3 thì : x1 + x2 + x3 = -b/2a x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a x1x2x3 = -d/aI. Những dạng thông thường1. Nếu x = x0 là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng : (x - x0)(ax2 + bx + c) = 0 Đặc biệt : - Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm - Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b là nghiệm 2. Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3 pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0 II. Những dạng tổng quát 1. Phương trình 4x3 - 3x = q * Với │q│ ≤ 1 - Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q - Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα - Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3 - Kết luận phương trình có 3 nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3 Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt ép ẩn phụ, ta không cần chứng minh rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận ngay * Với │q│ > 1 : - Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm x0 không thuộc [-1;1] thì x0 là nghiệm duy nhất - Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 - 3x = ½ (a3 + 1/a3) bằng cách : q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 - 2qa3 + 1 = 0 (→ tìm được a) - CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình 2. Phương trình 4x3 + 3x = q - Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM được x0 là nghiệm duy nhất - Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 - 1/a3) rồi CM x0 = ½ (a - 1/a) lànghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)3. Phương trình x3 + px + q = 0 (Công thức Cardan - Tartaglia)- Đặt x = u - v sao cho uv = p/3- Từ pt, ta có : (u - v)3 + 3uv(u - v) = u3 - v3 = q- Hệ phương trình uv = p/3 và u3 - v3 = q cho ta một phương trình trùng phươngtheo u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + vChú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (uhoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới làdạng đầy đủ của công thức trên)Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PPnày4. Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = 0Đặt X = x - A/3, pt trở thành x3 + px + q = 0 (#)Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan - TartagliaCách 2 :- Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = 0 (chọn k sao cho k3/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k3/4 = -pk/3 nếu p < 0)- Phương trình được đưa về dạng 4t3 ± 3t = Q ...