PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chương 1. I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng Cho phương trình: aU xx + bU xy + cU yy + F( x , y, U, U x , U y ) = 0 Xét phương trình đặc trưng: a ( y ) 2 − by+ c = 0
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chương 1. I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng Cho phương trình: aU xx + bU xy + cU yy + F( x , y, U, U x , U y ) = 0 Xét phương trình đặc trưng: a ( y ) 2 − by+ c = 0 và ∆ = b 2 − 4ac * Nhận dạng phương trình chính tắc: Nếu: ∆ > 0 thì pt chính tắc có dạng U αβ = F1 (α, β, U, U α , U β ) , thuộc loạihyperbol. ∆ < 0 thì pt chính tắc có dạng U αα + U ββ = F2 (α β U, U α , U β ) , ,,thuộc loại ellip. ∆ = 0 thì pt chính tắc có dạng U ββ = F3 (α, β, U, U α , U β ) , thuộc loạiparabol. * Tìm phương trình chính tắc: - Giải phương trình đặc trưng: a ( y ) 2 − by+ c = 0 (*) Trường hợp 1. ∆ > 0 . Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệty + f ( x ) = C1 và y + g( x ) = C 2 . Đặt α( x, y) = y + f ( x ); β( x , y) = y + g( x ) Trường hợp 2. ∆ < 0 . Phương trình (*) có 2 nghiệm phức liên hợpf ( x, y) ± g ( x ).i = C . Đặt α( x, y) = f ( x , y); β( x , y) = g( x ) Trường hợp 3. ∆ = 0 . Phương trình (*) có nghiệm kép y + f ( x ) = C . Đặt D(α, β)α( x, y) = y + f ( x ) và chọn β( x , y) = g( x , y) thỏa mãn ≠ 0. D( x , y) - Sử dụng phương pháp đổi biến đưa phương trình về dạng chính tắc. II. Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát - Đưa phương trình về dạng chính tắc. - Giải phương trình chính tắc tìm nghiệm tổng quát. - Thay α, β bởi x, y ta được phương trình cần tìm. 1 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL I. Bài toán Cauchy U tt = a 2 U xx + f ( x, t ); ( x, t ) ∈ R × ( 0,+ ∞)  U( x,0) = g( x ) U ( x,0) = h ( x ) t Phương trình nghiệm tổng quát như sau: 1 t x +aη 1 x +at 1 U( x, t ) = [ g( x + at ) + g( x − at )] + ∫ h ( y)dy + 2a ∫ ∫ f (ξ, η) dξ dη 2 2a x −at 0 x − aη II. Bài toán biên ban đầu U tt = a 2 U xx + f ( x, t ); ( x, t ) ∈ [ 0, l] × ( 0,+ ∞)  U( x,0) = g( x ); U t ( x,0) = h ( x ) U(0, t ) = U(l, t ) = 0  Trường hợp 1. f ( x, t ) = 0 , ta có công thức nghiệm: nπa nπa  nπ  ∞ U( x , t ) = ∑  A n cos t + B n sin t  sin x n =1  l l l nπ nπ 2l 2l Trong đó: A n = ∫ g ( x ).sin xdx ; B n = ∫ h (x ).sin l xdx nπa 0 l0 l Trường hợp 2. f ( x, t ) ≠ 0 , ta có công thức nghiệm: nπ ∞ U( x , t ) = ∑ Tn ( t ) sin x l n =1 nπa nπ 2t l ∫ sin l (t − τ)dτ∫ f (x, τ).sin l xdx Trong đó: Tn = nπa 0 0 nπa lt nπa ∫ = f n (τ) sin ( t − τ)dτ với l 0 nπ 2lf n (τ) = ∫ f ( x , τ).sin xdx l0 l 2 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH ELLIP I. Bài toán Dirichlet trong hình tròn S bán kính R ∆U = U xx + U yy = 0   U ∂S = f (S)  Bằng cách đổi tọa độ cực x = r cos θ; y = r sin θ ta có công thức nghiệm n r ∞tổng quát: U(r , θ) = ∑   ( A n cos nθ + B n sin nθ) trong đó: n =0  ...