Phương trình vi phân tấm chịu uốn

Ở trên đã thấy rằng, tất cả các thành phần ứng suất hay nội lực, biếndạng của tấm đếu được biểu diễn qua hàm độ võng w(x,y) của mặt trungbình. Do vậy, trước hết và đầu tiên là cần tìm được hàm độ võng w(x,y)đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình vi phân tấm chịu uốn 7.4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TẤM CHỊU UỐN − Ở trên đã thấy rằng, tất cả các thành phần ứng suất hay nội lực, biến dạng của tấm đếu được biểu diễn qua hàm độ võng w(x,y) của mặt trung bình. Do vậy, trước hết và đầu tiên là cần tìm được hàm độ võng w(x,y) đó. − Khảo sát sự cân bằng của một phân tố mặt trung bình có kích thước dxdy. Đặt các lực tác dụng lên phân tố (gồm cả ngoại lực và nội lực) như hình vẽ H.1 Phöôngtrìnhcaânbaèngphaântoátrongtaám  Töø phöôngtrìnhcaânbaèngchieáuleânphöôngx tacoù. ∂Q ∂Qx dxdy + y dydx + pz dxdy = 0 ∂x ∂y ∂Qx ∂Qy + + pz = 0 Hay (a) ∂x ∂y Töø phöôngtrình momentvôùi truïc y boû qua caùc ñaïi löôïng voâ  cuøngbeùbaäccao,ta ñöôïc: ∂M yx ∂M x dxdy + dydx − Q x dxdy = 0 ∂x ∂y ∂M x ∂M yx + = Qx Hay: (b) ∂x ∂y  Töø phöôngtrìnhmomentuoánvôùi truïc x, töôngtöï ta coù: ∂M xy ∂M y + = Qy (c) ∂x ∂y Thay phương trình (b), (c) vào (a), loại bỏ lực cắt ∂ 2 M xy ∂ 2 M y ∂2M x +2 + = − pz ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2Thay các biểu thức Mx, Mxy, My theo hàm độ võng w(x,y) vào, ta có:  ∂4w ∂4w  ∂4 w ∂4w ∂4w− D  4 + υ 2 2 + 2(1 − υ ) 2 2 + 4 + υ 2 2 ÷ = − pz  ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y Đơn giản còn:  ∂4w ∂4w  ∂4wD  4 + 2 2 2 + 4 ÷ = pz  ∂x ∂x ∂y ∂y Hay: D∇ w = pz 4 pHay: ∇ 4 w = z (7.10) D − (7.10) là phương trình cân bằng vi phân của mặt trung bình khi võng. Nó còn được gọi là phương trình vi phân tấm chịu uốn. Phương trình (7.10) có dạng vi phân cấp 4. Nó là phương trình vi phân chủ đạo của bài toán tấm mỏng chịu uốn, và biểu diễn theo hàm độ võng w của mặt trung bình. − Đôi lúc phương trình vi phân này được biểu diễn ở dạng vi phân cấp 2. Bằng cách đưa ra một hàm momen M (momen function) hay còn gọi là hàm momen tổng (momen sum) Mx + My ∂2w ∂2 wM= = − D( + 2 ) = − D∇ 4 w (1 + υ ) ∂x ∂y 2Khi đó, các lực cắt sẽ là: ∂M ∂M và Qy =Qx = ∂y ∂xVà cuối cùng, dễ thấy rằng phương trình vi phân cấp 4 được thay thế bằng 2phương trình vi phân cấp 2: ∂2M ∂2M∇2 M = + 2 = − pz ∂x 2 ∂y ∂w ∂w −M 2 2∇2 w = 2 + 2 = − ∂x ∂y DTrong bài toán dao động của tấm, chỉ cần thay lực phân bố ở vế phải là: γ h ∂2wq=q(x,y,t)- g ∂t 2Và phương trình dao động của tấm là: γ h ∂ 2 w q ( x, y , t )∇ w+ = 4 (a) gD ∂t 2 D ∂4 ∂4 ∂4Trong đó cần hiểu: ∇ 4 = +2 2 2 + 4 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y w=w(x,y,t)Trường hợp dao động tự do: q(x,y,t)=0Phương trình dao động của tấm là: γ h ∂2w∇ w+ =0 4 (b) gD ∂t 2Khi đó hàm độ võng w(x,y,t) thường tìm được trong dạng:W(x,y,t)=W(x,y)T(t) (c)Thay (c) vào (b) ta được phương trình:Nếu T(t) là hàm điều hòa: T= -w2T ..Hay: T = −ω 2T (d) ..Hay: T + ω 2T = 0Thì ta có phương trình biên độ dao động: (thay (d) vào (b)):∇ 4 − K 4W = 0 (e) γh 2 ωVới: K = 4 gD(d): phương trình dao động (c): phương trình biên độ. ...