Phương trình vi phân - Ths. Bùi Thị Thanh Xuân

Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu các phuơng trình vi phân tương ứng. Ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và khoa học khác. Nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình vi phân - Ths. Bùi Thị Thanh Xuân ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TINPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Bài giảng điện tử) Biên soạn: ThS. Bùi Thị Thanh Xuân Thái Nguyên - 2010 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển củakhoa học, kỹ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế, nólà một bộ môn toán học cơ bản vừa mang tính lý thuyết caovừa mang tính ứng dụng rộng. Nhiều bài toán cơ học, vậtlý dẫn đến sự nghiên cứu các phuơng trình vi phân tươngứng. Ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyếtchung cho các ngành toán học và khoa học khác. Nó cómặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủsâu sắc, tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu,điều khiển tối ưu, giải tích số, tính toán khoa học,… THÔNG TIN MÔN HỌC1. Thông tin môn học - Tên tiếng Việt: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - Tên tiếng Anh: Differential Equations. - Số tín chỉ: 22. Điều kiện đăng ký môn học - Môn đã học: Toán cao cấp 1, 23. Yêu cầu của môn học - Sinh viên dự lớp đầy đủ - Hoàn thành các bài tập được giao - Có các bài kiểm tra thường xuyên để đánh giá4. Đánh giá môn học - Thang điểm đánh giá môn học: thang điểm 10 - Điểm các bài kiểm tra thường xuyên: 30 % - Điểm thi học phần: 70% NỘI DUNG MÔN HỌCChương 1 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘTChương 2 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAOChương 3 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNBÀI TẬP THAM KHẢOTÀI LIỆU THAM KHẢO Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT§ 1 Các khái niệm cơ bản§ 2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm§ 3 Phương trình vi phân có biến số phân ly§ 4 Phương trình vi phân thuần nhất§ 5 Phương trình tuyến tính cấp một§ 6 Phương trình vi phân hoàn chỉnh§ 7 PT vi phân cấp một chưa giải ra đối với đạo hàm§ 8 Phương pháp tìm nghiệm kỳ dị §1. Các khái niệm cơ bản1.1. Định nghĩa1.2. Trường hướng1.3. Bài toán Côsi1.4. Nghiệm tổng quát1.5. Nghiệm riêng1.6. Nghiệm kỳ dị Chương 1 - Phương trình vi phân cấp một §1 Các khái niệm cơ bản1.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát là F  x, y , y    0 1 dy y trong đó dx Nghiệm của phương trình (1) là hàm y = y(x) có tính chất là khi thế vào phương trình (1) thì ta được đồng nhất thức. Phương trình (1) có vô số nghiệm. Quá trình tìm các nghiệm của phương trình (1) được gọi là sự tích phân phương trình đó. Nếu từ phương trình (1) ta có thể giải được y’, nghĩa là (1) có dạng y  f  x, y   2thì phương trình (2) được gọi là phương trình cấp một đã giải ra đối với đạo hàm. Chương 1 - Phương trình vi phân cấp một §1 Các khái niệm cơ bản1.2 Trường hướng Giả sử hàm f(x,y) xác định và liên tục trong miền G của mặt phẳng Oxy. Quađiểm (x0,y0) thuộc G ta vẽ véc tơ có độ dài bằng 1 và lập với chiều dương của trụchoành một góc α sao cho tgα = f(x0,y0). Làm như vậy đối với mọi điểm (x,y) thuộcG chúng ta sẽ nhận được một trường véc tơ được gọi là trường hướng. Giả sử y = y(x) là một nghiệm của phương trình (2). Khi đó tập hợp nhữngđiểm (x,y(x)) sẽ tạo nên một đường cong mà ta gọi là đường cong tích phân củaphương trình (2). Như vậy, tại mỗi điểm của đường cong tích phân, hướng tiếptuyến với đường cong trùng với hướng véc tơ của trường hướng tại điểm đó. Đường cong mà tại mỗi điểm của nó hướng trường không thay đổi được gọi làđường đẳng phục. Như vậy phương trình của đường đẳng phục có dạng f  x, y   k , k  const Đường đẳng phục có thể là đường tích phân nhưng nói chung nó không trùngvới đường cong tích phân. Ví dụ Chương 1 - Phương trình vi phân cấp một §1 Các khái niệm cơ bản1.2 Trường hướng dy y Ví dụ: Xét phương trình  dx x ở đây các đường cong tích phân là các nửa đường thẳng y  Cx  x  0  , x  0 y  0 C là số thực bất kỳ. Dễ thấy các đường cong tích phân ở đây cũng là đường đẳng phục. Chương 1 - Phương trình vi phân cấp một §1 Các khái niệm cơ bản1.3 Bài toán Côsi Như trên đã thấy, nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 phụ thuộc vào hằng sốC tùy ý. Trong thực tế người ta thường không quan tâm đến tất cả các nghiệm củaphương trình mà chỉ chú ý đến những nghiệm y(x) của phương trình F(x,y,y’) = 0 (1)hoặc y’= f(x,y) (2) thỏa mãn điều kiện ...