Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả (giới thiệu tôpô học)

Nội dung bài viết "Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả (giới thiệu tôpô học)" cung cấp cho bạn một số kiến thức về bài toán về bảy chiếc cầu; Bài toán về số mặt, số cạnh, và số đỉnh của một đa diện. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả (giới thiệu tôpô học) RỘNG HẸP NHỎ TO VỪA VẶN CẢ (GIỚI THIỆU TÔPÔ HỌC) Nguyễn Hữu Việt Hưng (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG - Hà Nội) Có những vấn đề của hình học, nhưng lại không phụ thuộc vào kích cỡ to nhỏ, rộng hẹp, dài ngắn của các đối tượng liên quan. Những vấn đề như thế thuộc về một lĩnh vực được gọi là Tôpô học (Topology1 ). Trong những vấn đề thuộc loại này, chuyện một mảnh đất rộng hay hẹp, vuông hay méo chẳng quan trọng gì. (Thế có lạ không!) Vì thế, những người buôn đất, buôn bất động sản chớ nên học Tôpô. Nếu như vì tò mò mà họ cứ học, họ thể nào cũng cả quyết rằng các nhà Tôpô học là những kẻ điên, hâm hấp. Cao đàm khoát luận như thế không khéo dễ dẫn đến tư biện, mù mờ, rồi dễ sinh ra nói nhảm. Để tránh chuyện đó, ta hãy bắt đầu bằng một vài ví dụ. Đôi khi, vài ví dụ thực chất có thể đẻ ra một lý thuyết, có khi còn đẻ ra cả một ngành học. Leonhard Euler (1707 - 1783), nhà toán học vĩ đại người Thuỵ Sĩ, được xem là cha đẻ của ngành Tôpô học, vì ông là người đầu tiên nghiên cứu hai bài toán sau đây.1. Bài toán về bảy chiếc cầuK¨onigsberg là một thành phố cổ thuộc Vương quốc Phổ và nước Đức cho đến 1945. Sau Đạichiến Thế giới II, nó thuộc Liên Xô (cũ) rồi Nga, và được gọi là Kaliningrad. Chỉ có rất ít dấutích của K¨onigsberg còn sót lại ngày nay ở Kaliningrad.Ở thành phố K¨onigsberg, có 7 chiếc cầu. Chúng nối hoặc là hai bờ sông, hoặc một bờ sông vàmột trong hai cù lao, hoặc nối hai cù lao đó. Xem bản đồ sau đây: 1 Tất cả các liên kết trong bài đều của Ban Biên tập. 47 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Từ xưa, cư dân ở K¨onigsberg đã đặt câu hỏi: Liệu có thể đi một lần qua tất cả 7 chiếc cầu màkhông có cầu nào phải lặp lại hay không?Không cần để tâm nhiều lắm đến vị trí cụ thể của 7 chiếc cầu. Điều quan trọng nhất mà ngườita quan sát được từ bài toán này là như sau: Đây là một vấn đề của hình học, nhưng không phụthuộc vào độ lớn của các yếu tố tham dự (dòng sông rộng hay hẹp; những chiếc cầu dài hay ngắn,to hay bé; các cù lao lớn nhỏ thế nào). Vấn đề chỉ phụ thuộc hình dáng và vị trí tương đối của cácyếu tố.Không có bằng chứng nào còn lại chứng tỏ rằng Euler đã tới K¨onigsberg. Tuy nhiên, năm 1735ông đã chứng minh rằng mong muốn tìm một cách đi qua cả 7 chiếc cầu “một lần, không lặp lại”là không thể thực hiện được.Chúng ta thử tìm hiểu lời giải của Euler cho bài toán 7 cây cầu. Trên bản đồ K¨onigsberg hãy thaymỗi bờ sông, mỗi cù lao bằng một điểm, gọi là đỉnh, thay mối chiếc cầu bằng một đường nối cácđỉnh, gọi là cạnh. Hình thu được gọi là một đồ thị. Bài toán về 7 cái cầu ở K¨onigsberg thực chấtlà chuyện cố gắng “vẽ bằng một nét” đồ thị sau đây:Bài toán này rất quen thuộc với trẻ em qua trò chơi “vẽ hình bằng một nét”. Có ai thuở thiếu thờilại chẳng đã từng đau đầu với câu đố vẽ cái phong bì chỉ bằng một nét? 48Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Hãy bắt đầu với nhận xét đơn giản sau đây: Mỗi khi ta đi qua một đỉnh, thì có 2 cạnh (2 cây cầu)xuất phát từ đỉnh đó đã được đi qua: Cạnh đi tới, và cạnh đi ra khỏi đỉnh đó. Như thế, mỗi lần điqua một đỉnh, số cạnh nối với đỉnh đó mà ta chưa đi qua giảm đi 2. Cho nên, nếu một đỉnh có sốcạnh nối tới là một số chẵn (gọi tắt là đỉnh chẵn) thì mỗi lần đi tới đó ta luôn còn đường để thoátra ngoài. Còn tại mỗi đỉnh lẻ, chẳng hạn có (2k C 1) đường nối với đỉnh đó, thì sau k lần đi qua,tới lần (k C 1) ta sẽ hết đường để đi khỏi đỉnh đó.Như vậy, các đỉnh lẻ chính là các cản trở cho việc “đi qua” mà không phải dừng lại. Chiếnthuật của ta là không xuất phát từ các đỉnh chẵn (nếu vẫn còn đỉnh lẻ), vì nếu xuất phát từ mộtđỉnh chẵn, khi đi khỏi đỉnh đó, chúng ta sẽ biến đỉnh chẵn này thành một đỉnh lẻ trong phần tiếptheo của trò chơi.Ta chỉ cần xét các đồ thị liên thông, nghĩa là đồ thị mà giữa 2 đỉnh bất kỳ của nó đều có ít nhấtmột đường nối. (Việc vẽ một đồ thị không liên thông hiển nhên qui về vẽ từng thành phần liênthông của nó.) Dựa trên những nhận xét về đỉnh chẵn và đỉnh lẻ nói trên, ta có thể chứng minh:(1) Trong mỗi đồ thị, số các đỉnh lẻ luôn là một số chẵn,(2) Một đồ thị liên thông không có đỉnh lẻ nào, cần tối thiểu 1 nét vẽ.(3) Một đồ thị liên thông có 2n đỉnh lẻ (n > 0), cần tối thiểu n nét vẽ.Cách vẽ như sau: Xuất phát từ một đỉnh lẻ bất kỳ (nếu có), vẽ tuỳ ý cho đến khi không vẽ đượcnữa. Khi đó ta gặp một đỉnh lẻ khác. Nét vẽ vừa rồi khử bớt 2 đỉnh lẻ (là điểm đầu và điểm cuốicủa nét vẽ). Lặp lại quá trình trên cho đến khi không còn đỉnh lẻ nào. Trường hợp không có đỉnhlẻ nào, hãy xuất phát từ một đỉnh chẵn bất kỳ, vẽ tuỳ ý cho đến ...