Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức của hàm số

Bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông, nó vừa là đối tượng để nghiên cứu mà cũng vừa là một công cụ đắc lực, với những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở các cấp những bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng toán khá quen thuộc, nhưng để tìm ra lời giải không phải là một việc dễ dàng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức của hàm số LỜINÓIĐẦUB ấtđẳngthứclàmộttrongnhữngnộidungquantrọngtrongchươngtrìnhtoán phổthông,nóvừalàđốitượngđểnghiêncứumàcũngvừalàmộtcôngcụ đắc lực,vớinhữngứngdụngtrongnhiềulĩnhvựckhácnhaucủatoánhọc.Trongcácđề thichọnhọcsinhgiỏi ởcáccấpnhữngbàitoánchứngminhbấtđẳngthứcthường xuấthiệnnhư mộtdạngtoánkháquenthuộc,nhưngđể tìmralờigiảikhôngphảilà mộtviệcdễdàng.Cácphươngphápchứngminhbấtđẳngthứckháphongphú,đadạngvàđãđượckhá nhiềutàiliệuđề cậpđến.Mộttrongnhữngphươngphápchứngminhbấtđẳngthứchoặcsángtạorabấtđẳngthứclàviệcsử dụngcáctínhchấtđạisốvàhìnhhọccủa tíchphân.Trêntinhthầnđótiểuluậngồmcácphần:mụclục,mởđầu,7vấnđề,phụ lục,kết luậnvàtàiliệuthamkhảo.  Vấnđề1:Bấtđẳngthứccủahàmsốgiớinộivàlồi.  Vấnđề2:Bấtđẳngthứccủahàmsốliêntục.  Vấnđề3:Bấtđẳngthứccủahàmsốliêntụcvàđơnđiệu.  Vấnđề4:Bấtđẳngthứccủahàmsốkhảvi.  Vấnđề5:Bấtđẳngthứccủahàmsốkhảtích.  Vấnđề6:Sửdụngcôngthứctínhđộdàicungphẳngđểchứngminhbấtđẳng thức.  Vấnđề 7:Sử dụngcôngthứctínhdiệntíchhìnhphẳngđể chứngminhbất đẳngthức.Nộidungtrong5vấnđề đầuđề cậpđếnviệcsử dụngcáctínhchấtđạisố đơngiản củatíchphânđểchứngminhmộtsốbàitoánliênquan,trêncơsởđóđưaranhữngvídụápdụngđể sángtạorabấtđẳngthức,2vấnđề cònlạiđề cậpđếnviệcthôngqua nhữngướclượngtrựcquantừhìnhhọcđểchứngminhbấtđẳngthứckèmtheonhữngvídụminhhoạcụthể.Để hoànthànhtiểuluậnnày,chúngtôiđãcố gắngtậptrungnghiêncứu,xongdoít nhiềuhạnchế về thờigiancũngnhư về nănglựcnêntiểuluậnchắcchắncònnhiều vấnđềchưađềcậpđếnhoặccóđề cậpnhưngchưađisâuvàokhaithácýtưởngvấnđề.Vìvậytiểuluậnkhótránhkhỏinhữngthiếuxótnhấtđịnh.Chúngtôirấtmongđược sựchỉbảocủaquýthầycôvàcácbạnđọcvềtiểuluậnnày.QuyNhơn,ngày11tháng11năm2009.Vấnđề1. BấtĐẳngThứcCủaHàmSốGiớiNộiVàLồiBàitoán.Giảsửrằngtrên[a,b]hàmf(x)giớinộivàlồi.Chứngminhrằng f (a ) + f (b) b �a + b �( b − a) f ( x)dx ( b − a ) f � � 2 a �2 �ChứngminhVìf(x)lồitrên[a,b]nênvớibấtkỳ x 1,x2 [a,b]tacóbấtđẳngthứcsosánhf( 1x1+ 2x2) 1f(x1)+ 2f(x2)nếu 1 0, 2 0, 1+ 2=1(theođịnhnghĩa)Vìhàmlồitrênmộtđoạnnênnóliêntục.Như vậy,f(x)khả tíchtrên[a,b].Sử dụng tínhchấtlồicủaf(x)tacó �a + b � a +ξ b −ξ 1 f� �= f ( + ) > [ f (a + ξ ) + f (b − ξ ) ] , a ξ b − a �2 � 2 2 2Tíchphântheo ξ trògkhoảng[0,ba]tanhậnđược a+b 1� b −a b −a �b( b − a) f ( ) �� f ( a + ξ ) d ξ + � f (b − ξ ) d ξ �= �f ( x)dx (1) 2 2 �0 0 �atrongtíchphânđầutathaya+ ξ =t,còntíchphânthứ haithayb ξ =z.Chia[a,b] � b−a�thànhnphầnbằngnhau �∆xi = �vàlậptổngtíchphânvới ξ k = xk � n � b − a n−1 � k ( b − a ) � b − a n−1 �� � k� k Sn = � f� a+ �= � f� �1− � a + b� n k =0 � n � n k = 0 �� n � n � �� k� k �� k� kDof(x)lồi,tacó f � �1− � a + b �> � 1 �f (a ) + f (b) �� n� n �� n� n b − a n−1 ��� k� k b−a � n +1 n −1 �Bởivậy Sn > �� 1 �f (a ) + f (b) �= � f (a ) + f (b) �(2). n k =0 � � n� n � n �2 2 �Chuyểnquagiớihạnbấtđẳngthức(2)khi n (dof(x)khảtích)tanhậnđượcb b−a f ( x)dx ( f (a) + f (b) )a 2 f (a ) + f (b) b �a + b �Kếthợp(1)và(2)tacó ( b − a ) f ( x)dx ( b − a ) f � �. 2 a �2 �Vídụ1.1.Cho00,p>2. pTacó y = − p( p − 1) x p−2 < 0 .Vậyhàmsốy=f(x)bịchặnvàlồitrên[a,b].Khiđó f (a ) + f (b) b( b − a) f ( x)dx 2 a p p b p −a − b� ( b − a) �− x dx 2 a ( p� ( a − b) a + b � p 2 a ) p +1 −b (p +1 ) p +1 (� ( p − 1) a p +1 −b p +1 ) �ab ( p + 1) a p −1 b−1 −b ( ) 2Vídụ1.2Với0 1 y = − x 2 + 1, ...