Sáng kiến kinh nghiệm: Giải một bài toán quỹ tích như thế nào - Trường THCS Việt Đoàn

Tài liệu tham khảo dành cho quý thầy cô nhằm trau dồi kiến thức và kinh nghiệm trong công tác giảng dạy với sáng kiến kinh nghiệm về giải một bài toán quỹ tích của trường THCS Việt Đoàn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải một bài toán quỹ tích như thế nào - Trường THCS Việt ĐoànTrường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên GIẢI MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀONỘI DUNG1. Định nghĩa quỹ tích. Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất (hay tập hợp của những điểm M có tính chất  ) khi nó chứa và chỉ chứa nhữngđiểm có tính chất  . Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất  làmột hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:Phần thuận: Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình H.Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất  .Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất  là hình H.2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹtích. Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liêntiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học,trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cầnphải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng đượcsuy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trongmột chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo,giới hạn v.v.... như thế nào? Dưới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác tư duychuẩn bị cơ bản nhất.2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bàitoán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng: a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm. Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -1-Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v... Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”. c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v....Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài chotrước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tậphợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB. Trong bài toán này thì: + Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy. + Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB. + Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của AB cũng thay đổi. Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếutố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tốnào liên quan đến cách giải của ta mà thôi. Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúcnào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linhhoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định...” thì ta hiểu rằng tâmcủa đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dàikhông đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây.Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đườngthẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nóluôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C. Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy: + Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b. Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -2-Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên + Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C. Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừnglại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thểgiải được bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tựđồng dạng ra như sau: AC - Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn là một số ABkhông đổi. Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc đểtìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúpcho việc tìm ra cách giải bài toán.2.2 Đoán nhận quỹ tích Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hìnhdạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khicòn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tíchta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất làsử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp tahình dung được hình dạng quỹ tích. - Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng. - Nế ...