Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ĐẶTVẤNĐỀ TrongchươngtrìnhtoánhọcTHPTcácbàitoánliênquanđếndãysốlàmộtphầnquantrọngcủađạisốvàgiảitíchlớp11,Họcsinhthườngphảiđốimặtvớinhiềudạngtoánkhóliênquanđếnvấnđềnàyvàgặpkhókhăntrongvấnđềxácđịnhcôngthứcsốhạngtổngquátcủadãysố.Đặcbiệtởmộtsốlớpbàitoánkhiđãxácđịnhđượccôngthứctổngquátcủadãysốthìnộidungcủabàitoángầnnhưđượcgiảiquyết Đểđápứngđượcmộtphầnđềtài“Xácđịnhcôngthứctổngquátcủadãysố“vàkếthợpvớisựtiếpcận“Lýthuyếtphươngtrìnhsaiphân“quamộtsốchuyênđềmàbảnthântácgiảđãđượchọc Nộidungcủađềtàinhằmcungcấpmộtsốphươngphápcơbảnxácđịnhcôngthứctổngquátcủadãysốvàcósựphânloạiởmộtsốlớpbàitoán.Đâycũnglàđềtàivàbàigiảngmàtácgiảđãdạychohọcsinh,đặcbiệtlàhọcsinhkhágiỏivàlớpchọn,làtàiliệuhọcsinhvàđồngnghiệmthamkhảo Trongđềtàinàytácgiảđãsửdungmộtsốkếtquảcótínhhệthốngcủa‘Lýthuyếtphươngtrìnhsaiphân“.Tuynhiênnhữngvấnđềápdụngkiếnthứctoánhọchiệnđạichỉdừnglạiởmộtsốtrườnghợpđặcbiệtvàgiớihạntrongtrườngsốthực. Giớihạncủađềtàichỉdừnglạiởviệcxácđịnhcôngthứctổngquátcủamộtsốdãysố,từđócóápdụngvàomộtsốbàitoáncụthể.Quađó,ngườiđọccóthểtrangbịthêmchomìnhphươngphápxácđịnhcôngthứctổngquátcủadãysố.Đặcbiệtcácthầycôcóthểtựkiểmtrakếtquảvàxâydựngchomìnhmộtlớpcácbàitoánvềdãysốđượctrìnhbàytrongđềtài 1MỘTSỐPHƯƠNGPHÁPXÁCĐỊNHCÔNGTHỨC TỔNGQUÁTCỦADÃYSỐVÀXÂYDỰNGBÀI TOÁNVỀDÃYSỐ A.PHƯƠNGTRÌNHSAIPHÂNTUYẾNTÍNHCẤPMỘT Phươngtrìnhsaiphântuyếntínhcấpmộtlàphươngtrìnhsaiphândạng u1 = α , a.un+1 + b.un = f n , n N * trongđóa,b, α làcáchằngsố,a#0và f n làbiểuthứccủanchotrướcDạng1Tìm un thoảmãnđiềukiện u1 = α , a.un +1 + b .un = 0 (1.1)trongđó a, b, α chotrước n N *Phươngphápgiải Giảiphươngtrìnhđặctrưng a.λ + b = 0 đểtìm λ Khiđó un = qλ n (qlàhằngsố),trongđóqđượcxácđịnhkhibiết u1 = αBàitoán1:Xácđịnhsốhạngtổngquátcủacấpsốnhân,biếtsốhạngđầutiênbằng1vàcôngbộibằng2BàigiảiTacó un +1 = 2 un , u1 = 1 (1.2) 2Phươngtrìnhđặctrưngcónghiệm λ = 2 Vậy un = c.2n .Từ u1 = 1 suyra 1c = Dođó un = 2n −1 2Dạng2Tìm un thoảmãnđiềukiện u1 = α , a un +1 + bu n = f n , n N * (2.1)trongđó f n làđathứctheonPhươngphápgiải Giảiphươngtrìnhđặctrưng a.λ + b = 0 tatìmđược λ Tacóun = un0 + un* Trongđó un0 lànghiệmcủaphươngtrìnhthuầnnhất(1.1)vàun* lànghiệmriêngtuỳýcủaphươngtrìnhkhôngthuầnnhất(2.1)Vậyun0 = q.λ n qlàhằngsốsẽđượcxácđịnhsauTaxácđịnh un* nhưsau: 1) Nếu λ #1 thì un* làđathứccùngbậcvới f n 2) Nếu λ =1 thì un* = n.g n với g n làđathứccùngbậcvới f nThay un* vàophươngtrình,đồngnhấtcáchệsốtatínhđượccáchệsốcủa un*Bàitoán2:Tìm un thoảmãnđiềukiện u1 = 2; un+1 = un + 2n, n N * (2.2)BàigiảiPhươngtrìnhđặctrưng λ − 1 = 0 cónghiệm λ = 1 Tacóun = un0 + un* trongđó un0 = c.1n = c, un* = n ( an + b ) Thay un* vàphươngtrình(2.2)tađược ( n + 1) � a ( n + 1) + b � � �= n ( an + b ) + 2n (2.3)thayn=1vàn=2vào(2.3)tađượchệphươngtrìnhsau 3 3a + b = 2 � �a =1 � � 5a + b = 4 � b = −1 �Dođó un = n ( n − 1)Tacó un = un + un = c + n ( n − 1) Vì u1 = 2 nên 2 = c + 1( 1 − 1) � c = 2 0 *Vậy un = 2 + n ( n − 1) , hay un = n − n + 2 2Dạng3Tìm un thoảmãnđiềukiện u1 = α , a.un +1 + bun = v.µn , n N * (3.1)trongđó f n làđathứctheonPhươngphápgiải Giảiphươngtrìnhđặctrưng a.λ + b = 0 tatìmđược λ Tacóun = un0 + un* Trongđó un0 = c.λ n ,clàhằngsốchưađượcxácđịnh, un* đượcxácđịnhnhưsau: 1) Nếu λ # ...