Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng hình học để giải một vài bài toán đại số

Để giải một bài toán thông thường ta hay gắn bài toán đó vào một dạng bài tập nào đó, sau đó sử dụng các kiến thức đã biết về dạng toán đó. Nếu bài toán đó ở phân môn đại số thì ta thường nghĩ đến các phương pháp của đại số để giải nó, từ đó, ta có thể giải bài toán. Song nếu để ý kỹ hơn thì một số bài toán đại số có thể giải bằng phương pháp hình học và cách giải của nó rất trong sáng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng hình học để giải một vài bài toán đại số ChuyênđềĐạisốtronghìnhhọcĐàochíThanhCVP SỬDỤNGHÌNHHỌCĐỂGIẢIMỘTVÀIBÀITOÁNĐẠISỐĐểgiảimộtbàitoánthôngthườngtahaygắnbàitoánđóvàomộtdạngbàitậpnàođó,sauđósửdụngcáckiếnthứcđãbiếtvềdạngtoánđó.NếubàitoánđóởphânmônđạisốthìtathườngnghĩđếncácphươngphápcủađaisốđểgiảinóTừđó,tacóthểgiảibàitoán.Songnếuđểýkỹhơnthìmộtsốbàitoánđạisốcóthểgiảibằngphươngpháphìnhhọcvàcáchgiảicủanórấttrongsáng.Đểlàmrõthêmvấnđềnày,tôicómộtvàivídụsau.1.HệphươngtrìnhVídụ1:Tìmbasốdươngx;y;zthoãmãn: x 2 + xy + y 2 = 4 y + zy + z = 9 2 2 z2 + xz + x 2 = 36Nhìnvàobiểuthứcởvếtráitathấynógiốngcông Athứccôsintrongtamgiác.TrongtamgiácABCXétđiểmOởtrong△ABCsaocho:x=OA>0.y=OB>0;z=OC>0gócgiữaOA,OB=1200.(OC,OB)=1200 x(OA,OC)=1200nhưhìnhvẽ(OlàđiêmTolicelli)TheoĐLcosinTacó:AC2=x2+z2+xz=36hayAC=6AB2=x2+y2+xy=4hayAB=2BC2=y2+z2+yz=9hayBC=3 O zNhưngAC>AB+BCnênkhôngtồntạix,y,zdương ythoảmãnĐKbàitoán. CVídụ2:Giảihệphươngtrìnhsau: B 3xy − 10y = 3 (x − 2)2 + (y − 4)2 + (x − 5)2 + (y − 8)2 = 5XétcácđiểmA(2;4);B(5;8),M(x;y)thìMA= (x − 2)2 + (y − 4)2 MB = (x − 5)2 + (y − 8)2RõràngvớibađiểmA,B,MtuỳýtacóMA+MB AB=5 x −2 y −8Dầubằngkhi = � 4x − 3y + 4 = 0 x −5 y −4 4x − 3y + 4 = 0Vậytacóhệ: giảihệnàytacó:nghiệmcủahệx=3,5;y=6 3xy − 10y = 3Vídụ3:(ANNINH1999)Giảihệphươngtrình x2 x y 1 x y2 x y 1 y 18 x2 x y 1 x y2 x y 1 y 2 x y 8Giải:Tacóhệtươngdươngvới x2 9 y2 9 10 ChuyênđềĐạisốtronghìnhhọcĐàochíThanhCVP r r r rxétvéctơ a =(x;3); b =(y;3);khiđó a + b =(x+y;6) r r r rmà∣ a ∣+∣ b ∣ ∣ a + b ∣ x 2 9 y 2 9 10 dấubằngxảyrakhix=y=4Vậyhệcónghiệm(4;4)Vídụ4:(Olimpic30–42000)Chox,y,zdươngthoảmãn 3x 2 + 3xy + y 2 = 75 y + 3z = 63 2 2 Tìmgiátrị:S=xy+2yz+3zx z2 + xz + x 2 = 48Xétcác△OAB;△OBC;OCAcóOA= z 3 ;OB=y;OC=x 3 ;gócAOB=900;BOC=1500;COA=1200thì△ABCcó AB= 3 7 ; BC = 5 3 ; AC = 4 3 .LạicóS△OAB+S△OAC+S△OCB=S△CABNênS=xy+2yz+3zx=60Vídụ5:(OlimpicLiênxô1984)Chox,y,zdươngthoảmãn y2 x 2 + xy + = 25 3 y2 + z2 = 16 Tìmgiátrị:S=xy+2yz+3zx 3 z2 + xz + x 2 = 9LàmnhưVDtrêntacóS= 24 3Vídụ6:Tìmađểhệsaucósốnghiệmnhiềunhất. x 1 y 1 1 4 x2 y2 aGiải:Tathấykhia0Thìphươngtrìnhđầucủahệ A CđượcbiểudiễnlàhìnhvuôngABCDphươngtrìnhsaulàđườngtròntâmO -5 B 5bánkính aQuađồthịtathấyhệcónhiều -2nghiệmnhấtkhiOH ChuyênđềĐạisốtronghìnhhọcĐàochíThanhCVPGiảiTathấyhệphươn ...