Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp

Dựa vào phương pháp tọa độ do chính phát minh Descartes đã sáng lập ra môn Hình học giải tích. Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu Hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ Hình học. Tham khảo sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp" dưới đây để hiểu hơn về vấn đề này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặpSaùng kieán kinh nghieäm SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP VEÙCTÔ VAØ TOÏA ÑOÄGIAÛI MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN SÔ CAÁP THÖÔØNG GAËP  Giaùo Vieân: Ngoâ Minh Tuaán BÌNH XUYEÂN, THAÙNG 11 NAÊM 2010. A. ÑAËT VAÁN ÑEÀ: Döïa vaøo phöông phaùp toaï ñoä do chính mình phaùt minh Descartes ñaõ saùng laäp ra moânhình hoïc giaûi tích .Qua ñoù cho pheùp chuùng ta nghieân cöùu hình hoïc baèng ngoân ngöõ ñaïi soáthay cho ngoân ngöõ hình hoïc.Vieäc naøy giuùp ta boû ñi thoùi quen tö duy cuï theå, tröïc quan,nhaèm ñaït tôùi ñænh cao cuûa söï khaùi quaùt hoaù vaø tröøu töôïng cuûa toaùn hoïc vaø nhieàu lónh vöïckhaùc. Trong daïy vaø hoïc toaùn vieäc löïa choïn coâng cuï phuø hôïp ñeå giaûi caùc baøi toaùn laø vieäclaøm raát caàn thieát, choïn ñöôïc coâng cuï thích hôïp taát nhieân lôøi giaûi seõ toát nhaát. Sau ñaây toâixin trình baøy vieäc söû duïng“phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä” ñeå giaûi moät soá baøi toaùn sô caáp ô’phoå thoâng. Trang 1Saùng kieán kinh nghieäm B. GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀPHAÀN I: LYÙ THUYEÁTI. HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG MAËT PHAÚNG. 1. Ñònh nghóa: Trong maët phaúng cho hai ñöôøng thaúng x’ox, y’oy vuoâng goùc vôùi nhau.Treân Ox, Oy laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò e1 , e2 .Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng goùc Oxy. 2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô: Cho ñieåm M trong mp Oxy. Haï MH vuoâng goùc x’Ox vaø MK vuoâng goùc y’Oy. Theo qui taéc hình bình haønh, ta coù: OM  OH  OK  xe1  ye2 Boä hai (x, y) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûañieåm M, kyù hieäu M(x, y). Cho a treân heä truïc. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho OM  a . Goïi (x,y) laø toaï ñoäcuûa ñieåm M . Khi ñoù boä hai (x,y) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a treân heä truïc Oxy vaø kyù hieäu laø a = (x,y). 3. Caùc pheùp tính veùc tô : Cho hai veùc tô a  (a1 , a2 ) ; b  (b1 , b2 ) vaø k laø moät soá thöïc. Caùc pheùp tính veùc tô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät veùctô, tích voâ höôùng hai veùc tô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) k .a  (ka1 , ka1 ) a.b  a1b1  a2b2 4. Caùc coâng thöùc veà löôïng : Cho hai veùc tô a  (a1; a2 ) ; b  (b1; b2 ) vaø goïi  laø goùc taïo bôûi hai veùctô ñoù a.b  a . b khi vaø chæ khi a vaø b laø hai veùctô cuøng höôùng a.b a1.b1  a2 .b2 cos    ab a1  a2 2 . b12  b2 2 2Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0) ñeán ñöôøng thaúng (D):Ax +By +C = 0 laø : Axo  Byo  C d (M , D)  A2  B2 Trang 2Saùng kieán kinh nghieäm 5. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, ñöôøng troøn . * Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0, y0) vaø nhaän veùctô n  ( A, B) laøm veùc tô phaùp tuyeán laø: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 * Phöông trình ñöôøng troøn taâm I (a, b) baùn kính R laø: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2II.HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN. 1. Ñònh nghóa : Trong khoâng gian cho ba ñöôøng thaúng x’ox, y’oy, z’Oz vuoâng goùc vôùi nhau ñoâi moät. TreânOx, Oy, Oz laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò e1 , e2 , e3 . Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoânggoùc Oxyz. 2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô. Cho ñieåm M trong kh oâng gian Oxyz. Haï MH vuoâng goùc x’Ox, MK vuoâng goùc y’Oy vaø MLvuoâng goùc z’Oz. Theo qui taéc hình hoäp, ta coù : OM  OH  OK  OL  xe1  ye2  ze3Boä ba (x,y,z) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M, kyù hieäu M(x,y,z). Cho a . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho OM  a . Goïi (x, y. z) laø toaï ñoä cuûañieåm M. Khi ñoù boä ba (x, y, z) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a treân heä truïc Oxyz vaø kyù hieäu laø a = (x,y,z). 3. Caùc pheùp tính veùc tô : Cho hai veùc tô a  (a1 , a2 , a3 ) ; b  (b1 , b2 , b3 ) vaø k laø moät soá thöïc.Caùc pheùp tính vectô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät vectô, tích voâ höôùng, tích coùhöôùng hai vectô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: a  b  (a1  b2 , a2  b2 ) a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) k.a  (ka1 , ka1 ) a.b  a1b1  a2b2 a a a a aa  a.b   ( 2 3 , 3 1 , 1 2 )   b2 b3 b3 b1 b1 b2 4. Caùc coâng thöùc veà löôïng : Cho hai vectô a  (a1 , a2 , a3 ) ; b  (b1 , b2 , b3 ) vaø goïi  laø goùc taïo bôûi hai vectô ñoù a.b  a . b khi vaø ch æ khi a vaø b laø hai vectô cuøng höôùng Trang 3Saùng kieán kinh nghieäm a.b a1.b1  a2 .b2  a3.b3 cos    ab a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32 Cho (D) laø ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù vectô chæ phöôn ...