Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là hệ quả của bất đẳng thức Côsi cũng không kém phần quan trọng, áp dụng rất nhiều vào việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức. Nhưng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si không được đề cập trong sách toán THCS. Đối với giáo viên nhất là giáo viên dạy nâng cao hoặc bồi dưỡng không thể bỏ qua được việc nghiên cứu và áp dụng bất đẳng thức Côsi và hệ quả của nó cho các bài tập toán ở lớp 9. Trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, học sinh cũng có thể gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến bất đẳng thức Côsi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNNI. ĐẶT VẤN ĐỀ Bất đẳng thức Cô-si là bất đẳng thức rất quan trọng trong toán học, áp dụngnhiều trong bài tập chứng minh bất đẳng thức và những bài tập tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức. Nhưng bất đẳng thức Côsi không được đề cập trong sách giáo khoa toán THCSmà chỉ có trong một bài tập của sách bài tập toán 9. Hệ quả của bất đẳng thức Côsi cũng không kém phần quan trọng, áp dụng rấtnhiều vào việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức. Nhưng hệ quả của bất đẳngthức Cô-si không được đề cập trong sách toán THCS. Đối với giáo viên nhất làgiáo viên dạy nâng cao hoặc bồi dưỡng không thể bỏ qua được việc nghiên cứu vàáp dụng bất đẳng thức Côsi và hệ quả của nó cho các bài tập toán ở lớp 9. Trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, học sinhcũng có thể gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến bất đẳngthức Côsi. Với mong muốn có được một tài liệu để dạy cho học sinh ở THCS tôi sưu tầm,tuyển chọn một số bài toán tìm GTLN, GTNN ở bậc THCS và viết thành đề tài:“Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán tìm GTLN, GTNN” đểgóp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS.II. NỘI DUNGa) Bất đẳng thức Côsi : Với hai số không âm thì trung bình cộng luôn lớn hơnhoặc bằng trung bình nhân của nó. ab Cụ thể: Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì  ab . Dấu “ = ” xảy ra  a = b 2b) Hệ quả 1: Nếu tổng của hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khihai số đó bằng nhau. S2Cụ thể: a  b  2 ab mà a + b = S không đổi nên S  2 ab  a.b  . 4 S2Vậy max a.b = a b. 4c) Hệ quả 2: Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khihai số đó bằng nhau.Cụ thể: a  b  2 ab mà a.b = P không đổi nên a  b  2 P .Vậy min (a + b) = 2 P  a  b a bc 3d) Mở rộng với 3 số: Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 thì  abc . Dấu “ = ” xảy ra 3 a = b = c. 1 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017III. ÁP DỤNG1) Một số bài toán đại số vận dụng bất đẳng thức Côsi a2  a  2Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức : M = với mọi giá trị của a. a2  a 1 Giải a2  a  2 a2  a 1 1 1Ta có: M =    a2  a 1  a2  a 1 a2  a 1 a2  a 1 a 2  a 1 1Vì a2  a 1  0 ;  0 nên áp dụng BĐT Cô-si ta có: a  a 1 2 1 1M = a  a 1 + 2 2 a 2  a  1.  2 . Vậy min M = 2 a  a 1 2 a  a 1 2 1 a  0Dấu “ = ” xảy ra khi: a  a  1   a 2  a  1  1  a(a  1)  0   2 a2  a 1 a  1Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2011-2012) 25Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 a b c Q   . 2 b 5 2 c 5 2 a 5 Giải 25Do a, b, c > (*) nên suy ra: 2 a  5  0 , 2 b  5  0 , 2 c  5  0 4Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: a  2 b  5  2 a (1) 2 b 5 ...