Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Các dạng toán tích phân hàm ẩn

Sáng kiến kinh nghiệm THPT "Các dạng toán tích phân hàm ẩn" với mục tiêu xây dựng cơ sở lí thuyết và các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản, từ đó rèn luyện và phát triển kĩ năng cũng như tư duy của học sinh để giải quyết các bài toán dạng này. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Các dạng toán tích phân hàm ẩn A. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. Tên đề tài: Một số dạng toán tích phân hàm ẩn 2. Lĩnh vực: Toán học 3. Tác giả: Trần Nữ Diệu Thùy 4. Đơn vị: Trường THPT Vĩnh Linh, Quảng Trị 5. Thời gian: Năm học 2018-2019 B. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong các đề thi THPT quốc gia từ kể từ năm học 2016 - 2017 trở lạiđây, các câu hỏi trắc nghiệm về bài toán tính tích phân của hàm số nhưngkhông cho biết biểu thức của mà chỉ cho biếtthỏa mãn một số điều kiện (đượcgọi là tích phân hàm ẩn) xuất hiện thường xuyên. Các câu hỏi này thường ởmức vận dụng – vận dụng cao.Đây là một dạng toán khá mới mẻ, không chỉvới học sinh mà còn đối với cả giáo viên, gây không ít khó khăn cho các emhọc sinh khi tiếp cận. Hướng đến mục tiêu nâng cao điểm số thi THPT quốc gia cho các emhọc sinh khối 12, đặc biệt là học sinh khá – giỏi, tôi đã nghiên cứu và xâydựng đề tài: “Các dạng toán tích phân hàm ẩn”. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng cơ sở lí thuyết và các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản, từ đórèn luyện và phát triển kĩ năng cũng như tư duy của học sinh để giải quyết cácbài toán dạng này. 3. Đối tượng nghiên cứu Các dạng câu hỏi tích phân hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia của Bộgiáo dục và đề thi thử của các trường THPT trong cả nước. 4. Đối tượng khảo sát và thực nghiệm Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Vĩnh Linh năm học 2018 – 2019. 5. Phương pháp nghiên cứu Kết hợp giữa nghiên cứu xây dựng lý thuyết (dựa trên sách giáo khoa,các đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo dục và đào tạo, các đề thi thử của cáctrường THPT trong cả nước) và thực nghiệm trong quá trình giảng dạy. 6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu a)Phạm vi nghiên cứu: Chương 3 – Giải tích 12 và các bài toán liênquan trong các đề thi THPT quốc gia. b)Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 3/2018 đến tháng 5/2019. - Tháng 3/2018: Chọn đề tài, lập đề cương. - Tháng 4/2018 đến tháng 5/2019: Xây dựng cơ sở lý thuyết, phân dạngbài tập, áp dụng trong giảng dạy thực tế và rút kinh nghiệm từ thực tế giảngdạy. -1- - Tháng 5/2019: Viết và hoàn thành nội dung đề tài. C. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Định nghĩa tích phân: Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trênđoạn . Tích phân từ đến của hàm sốlà hiệu số , kí hiệu là . Ta có: Chú ý: 1) (kết quả tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu của biến số). 2) 3) 2. Các tính chất của tích phân Tính chất 1: (là hằng số ). Tính chất 2:. Tính chất 3: 3. Các phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp đổi biến số:Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sửhàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi . Khi đó:. b) Phương pháp tính tích phân từng phần:Nếu và là hai hàm số cóđạo hàm liên tục trên đoạn thì hay . II. CƠ SỞ THỰC TIỄN. Trước hết, ta cần định nghĩa về dạng toán tích phân hàm ẩn . Một số bài toán yêu cầu tính tích phânnhưng chưa cho biết biểu thứccủa hàm sốmà chỉ cho biết thoả mãn một sốđiều kiện thì ta có thể gọi nó làtích phân hàm ẩn. Mặc dù các dạng toán tích phân hàm ẩn cũng đã có mặt trong sách giáokhoa nhưng chỉ ở mức độ cơ bản.Tuy nhiên dạng toán này trong các đề thi cóđộ khó cao, đa số ở mức vận dụng – vận dụng cao nên học sinh thường giảisai hoặc bỏ qua các câu hỏi thuộc dạng toán này.Mặt khác, các tài liệu thamkhảo cho dạng toán này cũng chưa nhiều.Do đó, cần xây dựng nền tảng lýthuyết và phân dạng cơ bản, cùng với hệ thống bài tập tương ứng để hướngdẫn học sinh cách giải quyết các bài toán dạng này. III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất của tích phân -2- Ví dụ 1(Giải tích 12NC–trang 153): Cho biết Tính tích phân. Giải: Đặt A =; Suy ra . Ví dụ 2:(Giải tích 12NC – trang 176). Cho biết . Tính tích phân . Giải: Áp dụng tính chất của tính phân ta có : Nhận xét: Đây là dạng câu hỏi tương đối cơ bản, nằm ở mức độ thônghiểu nên học sinh có thể dễ dàng đưa ra đáp án đúng. Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn đồng thời thỏamãn Giá trị của tích phân bằng: A. B. C. D. Giải: Ta có Từ Vậy Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đã khéo léo biến đổi đề đưa về giảihệ phương trình chứa và từ đó áp dụng định nghĩa của tích phân . Dạng 2: Áp dụng tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ Tính chất 1: Nếu là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn thì Tính chất 2: Nếu là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì Ví dụ 1:Cho và là hai hàm số liên tục trên đoạn và là hàm số chẵn, làhàm số lẻ. Biết và . Mệnh đề nào sau đây sai? A.. B.. C.. D.. Giải: (1); (2) Từ (1) và (2) suy ra. Chọn B. Nhận xét:Do đề bài nêu rõ là hàm số chẵn, là hàm số lẻ nên có thểdễ dàng định hướng phương pháp giảivì đây là câu hỏi đơn giản, học sinh chỉcần áp -3-dụng tính chất.. Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm và thỏa mãnTính . Giải: Ta thấy là hàm số lẻ . Từ đó ta có: . Hay: Nhận xét:Để giải được bài toán này học sinh cần quan sát sự liênhệ giữa các giá trị của biến số như 1 và –1, 2 và –2; nhận dạng được là hàmsố lẻ, đồng thời nắm được tính chất 1 để vận dụng giải toán. Học sinh cũngcó thể tính nguyên hàm để tìm biểu thức của tuy nhiên cách này phức tạp hơnnhiều. Ví dụ 3:Cho hàm số là hàm số chẵn, liên tục trên Biết rằng và Tínhtích phân A. B. C. D. Giải. Vì là hà ...