Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số bài toán bất đẳng thức ba biến có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Một số bài toán bất đẳng thức ba biến có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r" nhằm đưa ra được nhiều lời giải cho một số bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r; Đưa ra một số định hướng để giải bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số bài toán bất đẳng thức ba biến có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r 1 I. ĐẶT VẤN ĐỀ1. Lý do chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức (bài toán chứng minh bất đẳng thức; bài toán tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức) nói chung và bài toán bất đẳng thức babiến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r (vớip  a  b  c, q  ab  bc  ca, r  abc ) nói riêng thường hay xuất hiện trong đề thituyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Toán, đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi Học sinhgiỏi. Đã có nhiều tác giả nghiên cứu về các bài toán bất đẳng thức dạng này như tácgiả Phạm Kim Hùng, tác giả Võ Quốc Bá Cẩn,…; Có một số “phương pháp mạnh” đểgiải bài toán bất đẳng thức dạng này như phương pháp dồn biến, phương pháp phântích bình phương S.O.S,… Nhưng chưa có tác giả nào rút ra một số định hướng vậndụng những “kiến thức gần gũi” để giải các bài toán dạng này. Vì vậy, tôi chọn đề tài:“Một số bài toán bất đẳng thức ba biến có giả thiết và kết luận liên quan đến p,q, r”.2. Tính cấp thiết của đề tài Các bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đếnp, q, r thường gây ra nhiều khó khăn cho Học sinh và Giáo viên trong quá trình tìmlời giải. Một số Học sinh thường bỏ qua khi gặp bài toán bất đẳng thức dạng này vìcác em không nắm được một số định hướng để giải bài toán dạng này. Vì vậy việcnghiên cứu kỹ bài toán dạng này là rất cần thiết.3. Tính mới của đề tài - Đưa ra được nhiều lời giải cho một số bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c cógiả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r. - Đưa ra một số định hướng để giải bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giảthiết và kết luận liên quan đến p, q, r. - Vận dụng các định hướng đó để giải một số bài toán bất đẳng thức ba biến a,b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r.4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài Đề tài có thể là tài liệu tham khảo bổ ích cho Học sinh, Giáo viên THCS vàTHPT đặc biệt là Học sinh khá, giỏi. 25. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu5.1. Đối tượng nghiên cứu- Học sinh khá giỏi THCS và THPT.- Giáo viên trường THCS và THPT.- Các bài toán bất đẳng thức có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r.5.2. Phạm vi nghiên cứu- Bám sát nội dung chương trình Toán THCS và THPT.- Mở rộng phù hợp với nội dung thi Học sinh giỏi Tỉnh, Quốc gia, Khu vực và Quốctế.6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu6.1. Phương pháp nghiên cứu- Phương pháp phân tích, tổng hợp.- Phương pháp thực nghiệm.6.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Rút ra một số kinh nghiệm để giải bài toán bất đẳng thức có giả thiết và kếtluận liên quan đến p, q, r. 3 II. NỘI DUNG1. Cơ sở khoa học1.1. Cơ sơ lý luận Trong đề tài này có sử dụng một số bất đẳng thức đúng sau1.1.1. Với hai số thực x, y ta có: +) x 2  y 2  2xy . +)  x  y  4xy . 2 +) 2 x 2  y 2    x  y . 2Dấu bằng ở các bất đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi x = y.1.1.2. Với ba số thực x, y, z ta có: +) x 2  y 2  z 2  xy  z  zx . +)  x  y  z  3 xy  yz  zx  . 2 +) 3 x 2  y 2  z 2    x  y  z . 2Dấu bằng ở các bất đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.1.1.3. Bất đẳng thức Cô – si: Với n số thực không âm a1 , a 2 , ..., a n ta có a1  a 2  ...  a n  n n a1a 2 ...a n .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a 2  ...  a n .1.1.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Với 2n số thực a1 , a 2 , ..., a n và b1 , b 2 , ..., b n ta có a  a 22  ...  a 2n b12  b 22  ...  b 2n   a1b1  a 2 b 2  ...a n b n  . 2 2 1 4Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:a1  kb1; a 2  kb 2 ;...; a n  kbn .1.1.5. Bất đẳng thức Schur bậc ba, bậc bốn: +) Bất đẳng thức Schur bậc ba: Với ba số thực không âm a, b, c ta có a a  ba  c  bb  cb  a   cc  a c  b  0 (1) hay a 3  b3  c3  3abc  aba  b  bcb  c  ca c  a  hay a  b  c  9abc  4a  b  cab  bc  ca  . 3 + Bất đẳng thức Schur bậc bốn: Với ba số thực không âm a, b, c ta có a 2 a  ba  c  b2 b  cb  a   c2 c  a c  b  0 (2) haya  b  c  4ab  bc  ca   6abca  b  c  5a  b  c ab  bc  ca  4 2 2 (Bất đẳng thức (2) đúng với mọi số thực a, b, c).Dấu bằng ở các bất đẳng thức Schur bậc ba, bậc bốn xảy ra khi và chỉ khi a = b = choặc a = b, c = 0 cùng các hoán vị tương ứng.Chứng minh: +) Chứng minh bất đẳng thức Schur bậc baKhông mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a  b  c  0 . Khi đó: (1)  a  b a a  c  bb  c  cc  a c  b  0 (3)Vì a  b  c  0 nên cc  a c  b  0 và a  b a a  c  bb  c  0 .Do đó (3) đúng. Vậy (1) đúng.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 5  a  b a a  c  bb  c  0   a  b  c .  a  b, c  0 cc  a c  b  0Vậy bất đẳng thức (1) đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0cùng các hoán vị tương ứng. +) Chứng minh Bất đẳng thức (2) đúng với mọi ...