Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến nhằm trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãysố là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thườngphải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khókhăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặcbiệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát củadãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quátcủa dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình saiphân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xácđịnh công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bàitoán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặcbiệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệmtham khảo Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thốngcủa ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề ápdụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệtvà giới hạn trong trường số thực . Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quátcủa một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó,người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thứctổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xâydựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ A. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phândạng u1   , a.u n1  b.un  f n , n  N *trong đó a,b,  là các hằng số ,a # 0 và f n là biểu thức của n cho trướcDạng 1 Tìm u n thoả mãn điều kiện u1   , a. un 1  b .un  0 (1.1)trong đó a, b,  cho trước n  N *Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 để tìm  Khi đó un  q n (qlà hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết u1  Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầutiên bằng 1 và công bội bằng 2Bài giải Ta có u n 1  2 un , u1  1 (1.2)Phương trình đặc trưng có nghiệm   2 Vậy u n  c.2 n . Từ u1  1 suy ra 1c Do đó u n  2n 1 2Dạng 2 Tìm u n thoả mãn điều kiện u1   , a un 1  bun  f n , n  N * (2 .1) 2trong đó f n là đa thức theo nPhương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 ta tìm được  Ta cóu n  u n0  u n* Trong đó u n0 là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) vàu n* là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậyu n0  q. n q là hằng số sẽ được xác định sauTa xác định un* như sau : 1) Nếu  #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n 2) Nếu  1 thì u n*  n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f nThay u n* vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số củau n*Bài toán 2: Tìm u n thoả mãn điều kiện u1  2; u n1  un  2n, n  N * (2.2)Bài giải Phương trình đặc trưng   1  0 có nghiệm   1 Ta cóu n  u n0  u n* trong đó un0  c.1n  c, un*  n  an  b  Thay u n* và phương trình(2.2) ta được  n  1 a  n  1  b   n  an  b   2n (2.3)thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 3a  b  2  a  1   5a  b  4 b  1Do đó un  n  n  1Ta có un  un0  un*  c  n  n  1 Vì u1  2 nên 2  c  11  1  c  2Vậy un  2  n  n  1 , hay un  n2  n  2Dạng 3 Tìm u n thoả mãn điều kiện 3 u1   , a.un 1  bu n  v. n , n  N * (3.1)trong đó f n là đa thức theo nPhương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 ta tìm được  Ta cóu n  u n0  u n* Trong đó u n0  c. n , c là hằng số chưa được xác định , un* đượcxác định như sau : 1) Nếu  #  thì u n*  A. n 2) Nếu    thì u n*  A.n. nThay u n* vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ sốcủa u n* . Biết u1 , từ hệ thức u n  un0  u n* , tính được cBài toán 3: Tìm u n thoả mãn điều kiện u1  1; un 1  3.u n  2 n , n  N * (3.2)Bài giải Phương trình đặc trưng   3  0 có nghiệm   3 Ta cóu n  u n0  u n* trong đó u n0  c.3n ...